如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=2，若二面角C'-AB-C的大小为60°，则点C到平面ABC'的距离为．

在正三棱柱ABC-A_六B_六C_六中，AB=3，高为2，则它的外接球上A、B两点的球面距离为______．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的长度都是1，M是BC边的中点，P是AA₁边上的点，且PA=

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4

．
（1）求：点P到棱BC的距离；
（2）问：在侧棱CC₁上是否存在点N，使得异面直线AB₁与MN所成角为45°？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由；
（3）定义：如果平面α经过线段AA′的中点，并与线段AA′垂直，则称点A关于平面α的对称点为点A′．设点A关于平面PBC的对称点为A′，求：点A′到平面AMC₁的距离．