24．如图.⊙O的半径为1.点P是⊙O上一点.弦AB垂直平分线段OP.点D是上任一点(与端点A.B不重合).DE⊥AB于点E.以点D为圆心.DE长为半径作⊙D.分别过点A.B作⊙D的切线.两条切线相交于点C． (1)求弦AB的长, (2)判断∠ACB是否为定值.若是.求出∠ACB的大小,否则.请说明理由, (3)记△ABC的面积为S.若＝4.求△ABC的周长. [分析](1)连接OA.OP与AB的交点为F.则△OAF为直角三角形.且OA＝1.OF＝.借助勾股定理可求得AF的长, (2)要判断∠ACB是否为定值.只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值.由于⊙D是△ABC的内切圆.所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线.因此只要∠DAE+∠DBA是定值.那么CAB+∠ABC就是定值.而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角.这个值等于∠AOB值的一半, (3)由题可知＝DE (AB+AC+BC).又因为.所以.所以AB+AC+BC＝.由于DH＝DG＝DE.所以在Rt△CDH中.CH＝DH＝DE.同理可得CG＝DE.又由于AG＝AE.BE＝BH.所以AB+AC+BC＝CG+CH+AG+AB+BH＝DE+.可得＝DE+.解得:DE＝.代入AB+AC+BC＝.即可求得周长为． [答案]解:(1)连接OA.取OP与AB的交点为F.则有OA＝1． ∵弦AB垂直平分线段OP.∴OF＝OP＝.AF＝BF． 在Rt△OAF中.∵AF＝＝＝.∴AB＝2AF＝． (2)∠ACB是定值. 理由:由(1)易知.∠AOB＝120°. 因为点D为△ABC的内心.所以.连结AD.BD.则∠CAB＝2∠DAE.∠CBA＝2∠DBA. 因为∠DAE+∠DBA＝∠AOB＝60°.所以∠CAB+∠CBA＝120°.所以∠ACB＝60°, (3)记△ABC的周长为l.取AC.BC与⊙D的切点分别为G.H.连接DG.DC.DH.则有DG＝DH＝DE.DG⊥AC.DH⊥BC. ∴ ＝AB•DE+BC•DH+AC•DG＝(AB+BC+AC) •DE＝l•DE． ∵＝4.∴＝4.∴l＝8DE. ∵CG.CH是⊙D的切线.∴∠GCD＝∠ACB＝30°. ∴在Rt△CGD中.CG＝＝＝DE.∴CH＝CG＝DE． 又由切线长定理可知AG＝AE.BH＝BE. ∴l＝AB+BC+AC＝2+2DE＝8DE.解得DE＝. ∴△ABC的周长为． [涉及知识点]垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 [点评]本题巧妙将垂径定理.勾股定理.内切圆.切线长定理.三角形面积等知识综合在一起.需要考生从前往后按顺序解题.前面问题为后面问题的解决提供思路.是一道难度较大的综合题 [推荐指数]★★★★★ 【
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