题目列表(包括答案和解析)
| A．199 | B．-199 | C．197 | D．-197 |
已知数列{an}中，a1=1，an=an+1+2（n≥1），则a100= （ ）
A．199 B．-199 C．197 D．-197
一、选择题
1．D 集合A表示函数y=
的定义域，A=
，B表示函数y=的值域， B=
，所以A∩B=[0，2]．
说明：本题考查函数的定义域、值域、集合的表示法及集合的运算.认识一个集合主要从以下两个方面入手：⑴集合中的元素是什么？⑵集合中都有哪些元素.
2．C由cos130°=cos(180°-50°)= -cos50°=a，得cos50°=-a.
于是sin50°=
,所以tan50°=
.
说明：本题考查诱导公式、三角函数的符号及同角三角函数的关系.
3．D ∵an+1-an=-2，∴数列{an}是首项为1，公差为-2的等差数列，an=a1+(n-1)d=3-2n，a100=-197.
说明：本题考察等差数列的定义及通项公式．
4．（理科）A∵z1=
=1+i，z2=1+(2i)5=1+32i，∴A（1，1）、B（1,32）.
因此
=1×1+1×32=33.
说明：本题考查复数运算，复数的几何意义及向量数量积的坐标运算．揭示了复数、向量、坐标三者的联系.
（文科）A 圆心O（0，0）到直线4x+3y-5=0的距离为d=
=1，圆的半径为2，设弦AB的中点为C，则∠AOC=60°，∠AOB=120°.=2×2×cos120°=-2.
说明：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及向量的数量积运算．本题也可以把直线与圆的方程联立消元，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算求解，但运算量较大.在解答与圆有关的问题时，要多利用圆的几何特性.
5．(理科) C f(x)=2xln(-x) (x<-1)，g(x)=2 ln(-x)+2x
=2 ln(-x)+2 (x<-1) . g(x)的值域是y>2，反解得 -x=
( y>2)，g-1(x)=-
( x>2)，故选C.
说明：本题考查导数的运算公式、对数基本公式、指对数互化及反函数的求法.
(文科) C 函数y=+2(x>2)的值域为（3，+∞），反解得x=2ln(y-2)+2(y>3).所求的反函数为y=2ln(x-2)+2=
ln(x-2)2+lne2= ln(ex-2e)2 (x>3)，故选C.
说明：本题考查对数基本公式、指对数互化及反函数的求法.
6．B 解法1：如图
，
，|
|=2，
点P的轨迹是以O为圆心，以2为半径的圆.
解法2：设
则
=（-1-x，-y），
=（1-x，-y）
，
即
，轨迹为圆.
说明：本题考查向量加法的几何定义，向量加法的坐标运算，椭圆的定义，圆的方程．
学生容易错选A，这里要注意：
.
7．C不等式组
表示的平面区域（如图）.
作直线l： x-2y＝0，平移l至点A(2，0)处时，z＝x-2y取得最大值2；至点B（
）处时，z＝x-2y取最小值
．
说明：本题考查线性规划.要求做到准确作图和计算.注意：本题可以不求直线x-y+1=0及x+y=2的交点B的坐标.通过点（0，1）及点（0，2）处的目标函数值估算.
8．B 由图象知a<0，c<0，
，得b<0.又图象与x轴有两个交点，所以，△=b2-4ac>0，解得
或
，但b<0，因此选B.
说明：本题考查二次函数的图象和性质，考查数形结合的能力．
9．C把a换成平面α，把b换成平面β，得到命题：“α∥β，α⊥c
β⊥c”，是真命题．把a换成平面α，把c换成平面γ，得到命题：“α∥b，α⊥γb⊥γ”，是假命题．把b换成平面β，把c换成平面γ，得到命题：“a∥β，a⊥γβ⊥γ”，是真命题．把a换成平面α，把b换成平面β，把c换成平面γ，得到命题：“α∥β，α⊥γβ⊥γ”，是真命题．
说明：本题考查空间线线、线面、面面的平行及垂直关系．要求学生准确写出四个命题，并加以判断，考查的知识面较宽.
10．B两条准线间的距离为d=
=4b.
等号成立的条件是：
，即b=c.此时a=
c，e=
.
说明：本题考查椭圆的性质及均值不等式．此题表明，椭圆短轴长不变时，两准线间的距离有最小值．
11．C f(x)=x3cos（3x+
）=-x3 sin3x.∵y=x3和y=sin3x都是奇函数，且在（
）上都是增函数，∴f(x) =-x3 sin3x是偶函数，且在（）上是减函数．
说明：本题考查诱导公式，函数奇偶性的判定及函数的单调性．利用基本函数的性质去判断复杂函数的性质是研究函数时常用的手法.对复杂的函数关系式，有时需要先做变形处理.
12．A 如图，作OO1⊥β，O1为垂足，取AB中点C，连接OC，O1C，则OC⊥AB，O1C⊥AB，∠O1CO是二面角α―AB―β的平面角，所以∠O1CO=60°.在Rt△OO1C中，OO1=2
，OC=
=4.
连接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=.又球的半径OA=4，所以A、B两点间的球面距离为4×=
.
说明：本题考查球的截面及性质，球面距离，二面角等知识，考查学生的空间想象能力.求球面上两点间的球面距离时，必须先
找出这两点对球心所张的圆心角．
二、填空题
13．（理科）20 在3分线内、外进球数分别记为ξ1、ξ2，得分记为ξ．则ξ=2ξ1+3ξ2，
ξ1~B(10，0.7)，ξ2~B(5，0.4)，Eξ=2Eξ1+3Eξ2=2×10×0.7+3×5×0.4=20.
说明：本题考查随机变量的分布、二项分布.
（文科）
抛物线方程化为y=
，y’=
x. l1、l2的斜率分别为x1、x2，由l1⊥l2得x1x2=-4.符合条件的只有(-4,1)、(-2,2)、(-1,4)三中情况，所以l1⊥l2的概率为
.
说明：本题考查导数的几何意义、直线垂直条件及等可能事件的概率.
14．7 ∵展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴展开式共有9项， n=8.
由Tr+1=
，令
，得r=6，
∴含x-1的项是第r+1=7项，属于基本题型．
说明：本题考查二项式定理知识．
15．60° 解法1：直线l：y=（x-c）与右准线x=
的交点坐标为P（，
），因为点P在渐近线y=
x上，所以=×，即
．渐近线y=
的倾斜角为30°.因此,两条渐近线的夹角为60°.
解法2：根据双曲线的几何性质，OP⊥PF，由l的倾斜角为60°，可得∠POF=30°，因此,两条渐近线的夹角为60°.
说明：本题考查双曲线的几何性质．注意：由双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足就是准线与该渐近线的交点.
16．30 第一类：已知PA、PD、PO中的任意两条，可编
=3种
题目；第二类：已知PA、PD、PO中的一条和AO、AD、OD
中的一条，可编
×=9种题目；第三类：已知6条线段中的
一条和3个角中的一个，可编
×=18种题目.一共可以编制
3+9+18=30种不同类型的题目.
说明：本题依托正棱锥，考查排列组合知识．通过解答此题，学
生不但训练了排列组合知识，而且了解了正棱锥题目的编制方法.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由sinA+cosA=平方得sin2A=1，
∵0°<2A<180°，∴2A=90°，A=45°. …………………………2分
由sinB-cosB=sin(B-45°)=
得 sin(B-45°)=
.
∵0°<B<135°,-45°<B-45°<90°，∴B-45°=60°，B=105°. …………4分
∴C=180°-(45°+105°)= 30°.
………………………………5分
（Ⅱ）由
得AB=BC×
= …………………………7分
又sinB=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=
………9分
∴△ABC的面积S=BA×BC×sinB=×
=
…10分
说明：本题考查三角恒等变形、解斜三角形等基础知识，考查运算能力．就三角函数来说，本题有一定的综合性，对运算的准确性要求较高．
18．解：（Ⅰ）对于图1的串联电路， D=
……………………………………2分
对于图2的并联电路，
表示电路不通，所以 D=
（或D=
或D=
）（只要求写出一种情况）
………………………………………4分
对于图3的混联电路，D=
（或
或
），（只要求写出一种情况）
………………………………………6分
（Ⅱ）因为事件A、B、C是相互独立的，所以：
对于串联电路， P（D）=P（）=0.9×0.8×0.7=0.504 ………………8分
对于并联电路， P（D）=1-P（）=1-0.1×0.2×0.3=0.994 …………10分
对于混联电路， P（D）=P（
）P（
）=0.9×(1-0.2×0.3)=0.846.
由此看出，并联可靠性最大.家用照明电路应采用的是并联. ………………12分
说明：本题考查相互独立事件、互斥事件和对立事件的概率.题目取材串并联电路．因为许多概率问题都可以用串、并、混联电路作模型.第一问让学生写出事件间的关系，虽然高考一般不这样命题，但是，做此训练对理解“同时发生”、“互斥事件”、“对立事件”等概念是有好处的.现在学生解答概率题，往往只注意代数计算，而不注意事件间的关系.
19．解法1：（Ⅰ）分别取AD、BC中点M、N，连结PM交EF于G，连接PN、GN、MN.
则PM⊥AD，MN⊥AD.∠PMN是侧面与底面所成的二面角的平面角.
故∠PMN=60°，△PMN是等边三角形. ………………………………………2分
设AC与MN的交点为O，连结OE，则OE∥PC，
∠ BEO是PC与BE所成的角. ………………4分
∵PO⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，从而BO⊥OE，
AB=4，则OB=2，OE=
，
tan∠BEO=
，
BE与PC所成的角为arctan；
……………6分
（Ⅱ）过O作OH⊥GN于H，连接CH.
∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN. …………………8分
∴平面BCFE⊥平面PMN.
∴OH⊥平面BCFE.
∠OCH是直线AC与平面BCFE所成的角. ………………………………10分
在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2， sin∠OCH =
.
因此AC与平面BCFE所成的角为arcsin
. ……………………………12分
解法2：同方法一，得PN=PM=MN. …………………………2分
建立空间直角坐标系如图，则A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），
P（0，0，2），E（1，-1，），M（0，-2，0）. ……………………3分
（Ⅰ）
（-1，-3，），
（-2，2，-2），
设BE与PC所成的角为θ，
则cosθ=
= 
.
BE与PC所成的角为arccos；………………6分
（Ⅱ）
是平面BCFE的一个法向量， 
（0，-2，-2），……8分
=（-4，4，0）. ……………………………………………………………9分
设AC与平面BCFE所成的角为α，则sinα=
= .
AC与平面BCFE所成的角为arcsin.
………………………………12分
说明：本题考查正棱锥的性质，异面直线所成的角，线面角，二面角，线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质.考查学生的空间想象能力和思维能力以及用空间向量解决立体几何问题的思想方法．
20．解：（理科）函数的定义域为（0，+∞）.
f¢(x)=aeaxlnx+eax×
= eax（alnx+）.
……………………………2分
当a=0时,f(x)=lnx在（0，+∞）上是增函数； ……………………………3分
当a<0时，∵
，
，∴
，
又∵eax >0，∴当x
+∞时，f¢(x)<0，与f(x)在（0，+∞）上递增矛盾；
……………………………5分
当a>0时，设g(x)= alnx+，则g’(x)=
.
当0<x<
时，g’(x)<0，当x>时，g’(x)>0，所以g(x)在x=时取得最小值，g(x)的最小值为g()=-alna+a=a(1-lna). ……………………8分
若a<e，则g()>0，从而f¢(x)>0，f(x)在（0，+∞）上是增函数；若a=e，则g()=0，其余各点处，g(x)>0，从而f¢(x)≥0（仅在x=时取等号），f(x)在（0，+∞）上是增函数；若a>e，则g()<0，从而f¢()<0，与f(x)在（0，+∞）上递增矛盾.
……………………………11分
综上所述，a的取值范围是[0，e]. ……………………………12分
说明：本题考查用导数研究函数性质的方法及不等式的基本知识，考查思维能力和分
类讨论的能力．已知函数的单调性，去研究参数的取值范围，是常见的题型，通常都转化为不等式恒成立问题，本题也可以转化为alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立问题，由于lnx的符号不定，所以用分离参数的方法并不简单.
（文科）（Ⅰ）f¢(x)＝x2-(a+1)x+a＝(x-a)(x-1)． ……………………………2分
当a=1时，f¢(x)＝(x-1)2≥0, f(x)的单调递增区间是（-∞，+∞）；………………3分
当a<1时，f¢(x)>0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞），f(x)的单调递增区间是（-∞，a）和（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；………………………………………… 5分
当a>1时，f¢(x)>0的解集是（-∞，1）∪（a，+∞），f(x)的单调递增区间是（-∞，1）和（a，+∞），单调递减区间是（1，a）.………………………………………… 6分
（Ⅱ）解法1：∵f(x)=
x[2x2-3(a+1)x+6a]有一个根是0， …………………… 7分
∴f(x)有三个不等实根等价于方程2x2-3(a+1)x+6a=0有两个不等于0的相异实根.
由此得△=9(a+1)2-48a>0且a≠0，解得a>3或a<
且a≠0. ……………11分
∴a的取值范围是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）.
……………12分
解法2：由（Ⅰ）知，当a=1时，f(x)在（-∞，+∞）上递增，f(x)=0只有一个实根；
当a<1时，f极大=f(a)=a2(3-a)，f极小=f(1)= (3a-1)，由f(x)=0有3个实根知
a2(3-a)>0且(3a-1)<0，解得a<且a≠0;
…………………… 9分
当a>1时，f极大= f(1)=(3a-1)，f极小= f(a)=a2(3-a)，由f(x)=0有3个实根知
a2(3-a)<0且(3a-1)>0，解得a>3; …………………… 11分
综上：a的取值范围是（-∞，0）∪（0，）∪（3，+∞）. …………………12分
说明：本题考查用导数研究函数性质的方法及不等式的基本知识，考查思维能力和分类讨论的能力．把解含参不等式与导数结合，是常见的题型．第（Ⅱ）问的方法1是抓住了方程的特殊性，比较简单.方法2体现了方程与函数的联系，具有普遍性.
21．解：（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=， ……………………………1分
由Sn=2-(
+1)an得Sn-1=2-(
+1)an-1，
于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，
整理得 
=×
（n≥2）,
……………………………3分
所以数列{}是首项及公比均为的等比数列. ……………………………4分
（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）得=×
=
. ……………………………5分
于是 2nan=n，Tn=1+2+3+…+n=
，
……………………………6分
，
An=2[（1-）+（-）+…+
=2（1-
）=
.
……………………………8分
又
=
,问题转化为比较与的大小,即
与
的大小.
设f(n)= ，g(n)= .
∵f(n+1)-f(n)=
，当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,
∴当n≥3时f(n)单调递增， ……………………………10分
∴当n≥4时，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴当n≥4时f(n) >g(n)，
经检验n=1,2,3时，仍有f(n) ≥g(n)，因此，对任意正整数n，都有f(n) >g(n),
即An <.
……………………………12分
说明：本题全面考察等比数列、等差数列、裂项求和及数列不等式的有关知识．题目入口简单，既考查数列的基础知识，又考查学生分析问题和解决问题的能力.第（Ⅱ）问通过函数的单调性比较大小，体现了函数与数列的联系.学生也可以用数学归纳法解答.
（文科）（Ⅰ）由a1=S1=2-3a1得a1=，
……………………………1分
由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1，
…………………………2分
于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，
整理得 =×（n≥2）, …………………………5分
所以数列{}是首项及公比均为的等比数列.
…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
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