4．几个特例 (1)圆锥摆 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动.其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力.向心力的方向水平.也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力). [例3] 小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动.试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v.周期T的关系.(小球的半径远小于R.) 解析:小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上.向心力F是重力G和支持力N的合力.所以重力和支持力的合力方向必然水平.如图所示有: . 由此可得:. (式中h为小球轨道平面到球心的高度). 可见.θ越大.v越大.T越小. 点评:本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆.火车转弯.飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题.共同点是由重力和弹力的合力提供向心力.向心力方向水平. (2)竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类 这类问题的特点是:由于机械能守恒.物体做圆周运动的速率时刻在改变.物体在最高点处的速率最小.在最低点处的速率最大.物体在最低点处向心力向上.而重力向下.所以弹力必然向上且大于重力,而在最高点处.向心力向下.重力也向下.所以弹力的方向就不能确定了.要分三种情况进行讨论. ①弹力只可能向下.如绳拉球.这种情况下有 即.否则不能通过最高点. ②弹力只可能向上.如车过桥.在这种情况下有:.否则车将离开桥面.做平抛运动. ③弹力既可能向上又可能向下.如管内转.这种情况下.速度大小v可以取任意值.但可以进一步讨论:①当时物体受到的弹力必然是向下的,当时物体受到的弹力必然是向上的,当时物体受到的弹力恰好为零.②当弹力大小F<mg时.向心力有两解:mg±F,当弹力大小F>mg时.向心力只有一解:F +mg,当弹力F=mg时.向心力等于零. [例4] 如图所示.杆长为L.球的质量为m.杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动.已知在最高点处.杆对球的弹力大小为F=1mg.求这时小球的瞬时速度大小. 解析:小球所需向心力向下.本题中F=1mg＜mg.所以弹力的方向可能向上也可能向下.⑴若F向上.则 ⑵若F向下.则 点评:本题是杆连球绕轴自由转动.根据机械能守恒.还能求出小球在最低点的即时速度. 需要注意的是:若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动.则运动过程中小球的机械能不再守恒.这两类题务必分清. [例5] 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道.处于水平向右的匀强电场中.以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑.沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动.已知小球所受到电场力是其重力的3／4.圆滑半径为R.斜面倾角为θ.sBC=2R.若使小球在圆环内能作完整的圆周运动.h至少为多少? 解析:小球所受的重力和电场力都为恒力.故可两力等效为一个力F.如图所示.可知F＝1.25mg.方向与竖直方向左偏下37º.从图6中可知.能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点.若恰好能通过D点.即达到D点时球与环的弹力恰好为零. 由圆周运动知识得: 即: 由动能定理有: 联立①.②可求出此时的高度h. 【
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