题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分15分）
已知函数
的图象在
上连续不断，定义： 
，
其中，
表示函数在
上的最小值，
表示函数在上的最大值．若存在最小正整数
，使得
对任意的
成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）若
，
，试写出
的表达式；
（2）已知函数
，
，试判断是否为
上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（3）已知
，函数
是
上的2阶收缩函数，求
的取值范围.
（本小题满分15分）
已知函数
的图象在
上连续不断，定义： 
，
其中，
表示函数在
上的最小值，
表示函数在上的最大值．若存在最小正整数
，使得
对任意的
成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）若
，
，试写出
的表达式；
（2）已知函数
，
，试判断是否为
上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（3）已知
，函数
是
上的2阶收缩函数，求
的取值范围.
（本小题满分15分）已知函数
．
（I） 若
，求曲线
在点
处的切线方程；
若函数在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；
（III）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
成立，求实数的取值范围．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
D
D
C
B
A
B
二、填空题
11. 
；
12. 
（或
）; 13. 15;
14. 6;
15. 
16. 
；
17. 
三、解答题
…………12′
故函数
的取值范围是
…………12′
19. 解：(1)设袋中原有n个白球,由题意知：
，所以
=12，
解得n=4(舍去
),即袋中原有4个白球;
…………4′
(2)由题意,
的可能取值为1，2，3，4
所以，取球次数的分布列为：
1
2
3
4
P
…………9′
(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，
则
或 “=
…………14′
20. 解：⑴由条件得：
∴
∵
∴
∴
为等比数列∴
…………4′
⑵由
得 
又
∴ 
…………9′
⑶∵
（或由
即
），∴
为递增数列.
∴
从而
∴
…………14′
21.解：（1）依题意有
，由显然
，得
，化简得
；
…………5′
（2）证明：（?）
…………10′
（?）设点A、B的坐标分别为
，不妨设点A在点P与点B之间，点
，依（?）有
*，又可设过点P（2,4）的直线方程为
，得
，
，代入上*式得
，又
，得
，当直线AB的斜率不存在时，也满足上式.即点Q总过直线，得证.
…………15′
22. 解：（Ⅰ）设
与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．即
由
得：
，或
（舍去）．即有
．
…………4′
令
，则
．于是当
，即
时，
；
当
，即
时，
．故
在
为增函数，在
为减函数，于是在
的最大值为
．
…………8′
（Ⅱ）设
则
．故
在
为减函数，在
为增函数，于是函数在上的最小值是
．故当
时，有
，即当时，．
…………15′
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