(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中点． （Ⅰ）求异面直线AB和C₁D所成的角（用反三角函数表示）；（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B₁C₁E的距离．

   (本小题满分12分)请你设计一个包装盒，如下图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱挪状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB=x(cm).

(I)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm²)最大,试问x应取何值？

(II)某厂商要求包装盒的容积V(cm³)最大,试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.[

 (本小题满分12分)请你设计一个包装盒，如下图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱挪状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB=x(cm).

(I)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm²)最大,试问x应取何值？
(II)某厂商要求包装盒的容积V(cm³)最大,试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.[

（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率;

（II）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列;

（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

（本小题满分12分）  在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率．