已知：函数f(x)=-

1

6

x3+

1

2

x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，

4

3

)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．

（2009•孝感模拟）已知函数f（x）=

1

2

x²-x+2，数列{a_n}满足递推关系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，a_n＜2-

1

n-1

；
（3）证明：当n≥5时，有

n

k=1

1

ak

＜n-1．