（13分）已知的反函数为．

（1）若函数在区间上单增，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

 

函数f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}；的项中仅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x1=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

．

函数f（x）=

x

1-x

（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}的项中仅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：

(x2-x1)2

x1x2

+

(x3-x2)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

5

16

．