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（Ⅰ）如图1，A，B，C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如图2，设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，试探究：

1

m

+

1

n

的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

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数   学（理科）    2009.4

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函数的单调递增区间为 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：

开心心，心开心，心心开，心心乐．

则恰好摸到2个“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

则 ，，

．…………………………………………10分

故取球次数的分布列为

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰为B点，则⊥底面．

所以就是与底面所成的角．

因，故 ，

即与底面所成的角是．……………………………………………3分

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则

，

，．

则，

故与棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：设，则．于是

（舍去），

则P为棱的中点，其坐标为．…………………………………………9分

设平面的法向量为，则

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

则，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由题意知：，，，解得．

故椭圆的方程为．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：设，

⑴若轴，可设，因，则．

由，得，即．

若轴，可设，同理可得．……………………7分

⑵当直线的斜率存在且不为0时，设，

由，消去得：．

则．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（记为①）．…………11分

由，可知直线的方程为．

联立方程组，得 （记为②）．……………………13分

将②代入①，化简得．

综合⑴、⑵，可知点的轨迹方程为.………………………15分

22．（Ⅰ）证明：当时，．令，则．

若，递增；若，递减，

则是的极（最）大值点．于是

，即．故当时，有．………5分

（Ⅱ）解：对求导，得．

①若，，则在上单调递减，故合题意．

②若，．

则必须，故当时，在上单调递增．

③若，的对称轴，则必须，

故当时，在上单调递减．

综合上述，的取值范围是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．则问题等价于

        找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．

        因，

而，

故当时，，递减；当时，，递增．

于是，．

与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．……………………15分