已知直线a与平面α所成的角为30°，P为空间一定点，过P作与a、α所成的角都是45°的直线l，则这样的直线l可作_____条．

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   无数

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，过一面对角线AB₁，且与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D.

（1）确定D点的位置，并证明你的结论；

（2）证明：平面AB₁D⊥平面AA₁D；

（3）若AB＝6，AA₁＝4，求直线BC₁与平面AB₁D的距离；

（4）若AB︰A₁A＝k，问是否存在k，使平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小为45°？若存在，请求出k；若不存在，请说明理由.