已知等差数列的前项和为,且满足，

（1）求；

（2）设为实数，对任意正整数,不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数,求数列的前项和。

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点(1，

1

3

)
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，求数列{a_n²}的通项公式；
（3）已知b&n=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

，设S_n为b_n的前n项和，证明：

1

6

≤Sn＜

1

2

．

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若c_i•c_i+1＜0，则称c_i，c_i+1为这个数列{c_n}一对变号项．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=

1

2

上，且

AM

=

MB

．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

成立，求c和m的值．