在等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，设数列的前n项和为S_n．
（1）解不等式：，求正整数m，n的值；
（2）若数列{b_n}满足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求证：．

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 与b_n；（Ⅱ）设数列{c_n}满足，求{c_n}的前n项和T_n.

【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中，利用等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二问中，，由第一问中知道，然后利用裂项求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 设：{a_n}的公差为d,

因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因为……………8分

 

已知等差数列{a_n}的公差是d，S_n是该数列的前n项和、
（1）试用d，S_m，S_n表示S_m+n，其中m，n均为正整数；
（2）利用（1）的结论求解：“已知S_m=S_n（m≠n），求S_m+n”；
（3）若各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，前n项和为S_n，试类比问题（1）的结论，写出一个相应的结论且给出证明，并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列{b_n}，其中S₁₀=5，S₂₀=15，求数列{b_n}的前50项和S₅₀．”

已知等差数列满足：

（1）是否存在常数，使得请对你的结论作出正确的解释或证明；

（2）当时，求数列的通项公式；

（3）若是数列中的最小项，求首项的取值范围。