椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1，

3

2

)且离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程．
（3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA，PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为

2

2

，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A，B，满足：

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=4

OP

，求常数λ的值和实数m的取值范围．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一短轴顶点与两焦点的连接组成正三角形，且焦点到对应准线的距离等于3．过以原点为圆心，半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l，且l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范围．