已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．

已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）证明函数f（x）是奇函数；
（II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；
（III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为

3

2

？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（I）若x=-

1

3

是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；
（II）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2。
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数。
 （i）求实数m的最大值；
 （ii）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。