数列{a_n}的通项a_n=（﹣1）ⁿ⁺¹•n²，观察以下规律：

a₁=1

a₁+a₂=1﹣4=﹣3=﹣（1+2）

a₁+a₂+a₃=1﹣4+9=6=1+2+3

…

试写出求数列{a_n}的前n项和S_n的公式，并用数学归纳法证明．

数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）当k=1，p=5时，若数列{a_n}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设T_n=a₁+++…++，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列{a_n}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

2

，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1，令bn=

a

4 n

(

1

a 4 1

+

1

a 4 2

+

1

a 4 3

+…+

1

a 4 n-1

)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；试用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，证明：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

．
（3）当n∈N^*时，证明

a 2 1 C 0 n

2

+

a 2 2 C 1 n

22

+

a 2 3 C 2 n

23

+…+

a 2 i+1 C 1 n

2i+1

+…+

a 2 n+1 C n n

2n+1

≤3n-1．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求数列{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f（a_n）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-

B

1-A

}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．