例1:某批零件共160个.其中一级品有48个.二级品64个.三级品32个.等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样.系统抽样.分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率相同． 解:(1)简单随机抽样法:可采用抽签法.将160个零件按1-160编号.相应地制做1-160号的160个签.从中随机抽20个.显然每个个体被抽到的概率为 . (2)系统抽样法:将160个零件按1-160编号.按编号顺序分成20组.每组8个.先在第一组用抽签法抽得 号 .则在其余组中分别抽得第 号.此时每个个体被抽到的概率为 . (3)分层抽样法:按比例 .分别在一级品.二级品.三级品.等外品.是抽取 个. 个. 个. 个.每个个体被抽到的概率分别为 . . . .即都是 . 综上所述.无论采取哪种抽样.总体和每个个体被抽到的概率都是 . 说明:三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同.这样样本的抽取体现了公平性和客观性. 例2:将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器设定在 .液体的温度 是一个随机变量.且 . (1) 若 .求 的概率 (2) 若要保持液体的温度至少为 的概率不低于0.99.问 至少是多少?. 剖析:.因为 不是标准正态分布.而给出的是 .故需转化为标准正态分布的数值. (2)转化为标准正态分布下的数值求概率 .再利用 解:(1) (2)由已知 满足 说明:(1)若 (2)标准正态分布的密度函数 是偶函数. 时. 为增函数. 时. 为减函数. 例3:已知测量误差 .必须进行多少次测量.才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过 的频率大于0.9? 解:设 表示 次测量中绝对误差不超过 的次数.则 其中 由题意. . 因此.至少要进行3次测量.才能使至少有一次误差的绝对值不超过 的概率大于0.9. 例4:有一个容量为100的样本.数据的分组及各组的频数如下: (1)列出样本的频率分布表,(2)画出频率分布直方图,(3)估计数据小于30.5的概率. 解:(1)样本的频率分布如下: 分组 频数 频率 12.5~15.5 6 0.06 15.5~18.5 16 0.16 18.5~21.5 18 0.18 21.5~24.5 22 0.22 24.5~27.5 20 0.20 27.5~30.5 10 0.10 30.5~33.5 8 0.08 合计 100 1．00 (2)频率分布直方图如图 (3)数据大于等于30.5的频率是0.08.所以.小于30.5的频率是0.92. 所以.小于30.5的概率约是0.92. 例5:一个工厂在某年里每月产品的总成本y与该月产量x之间有如下一组数据: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 (1) 画出散点图 (2) 求月成本与月产量之间的回归直线方程. 解:(1)画出散点图如图所示: (2)列出下表.并用科学计算器进行有关计算 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6653 7.245 , , , 于是由公式可得: . 因此所求的回归直线方程是 说明:求线性回归直线方程的步骤: (1)画散点图观察相关性(2)列出表格.求出某些数据(3)代入公式求得a,b.进而得到直线方程. 【
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