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    例1.把一个圆分成3块扇形.现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色.要求相邻扇形的颜色互不相同.问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? d c a b 解:(1)不同涂色方法数是: (种) (2)如右图所示,分别用a,b,c,d记这四块, a与c可同色,也可不同色,先考虑给a,c两块涂色,分两类 (1) 给a,c涂同种颜色共 种涂法,再给b涂色有4种涂法, 最后给d涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有 种涂法 (2) 给a,c涂不同颜色共有 种涂法,再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有3种. 此时共有 种涂法 故由分类计数原理知.共有 + =260种涂法. 例2.(1)如图为一电路图.从A到B共有­­ 条不同的线路可通电. 解:按上中下通电可分三类.第一类有3种通法.第二类1种.第三类分2步.每步又可分2种,所以.共有3+1+2 2=8种通电方法. A B (2)三边均为整数.且最大边长为11的三角形的个数是 . 解:另两边用x.y表示.且不妨设 .要构成三角形.必须 当y取值11时. .可有11个三角形,当y取值10时. .可有9个三角形--当y取值6时.x只能取6.只有一个三角形 所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.故选C. (3)甲.乙.丙.丁四个公司承包8项工程.甲公司承包3项工程.乙公司承包1项.丙.丁各承包2项.问共有 种承包方式? 解:由分步计数原理有: 种.思维点拔 [思维点拔] 解决这类题首先要明确:“完成一件事 指什么?如何完成这件事?进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理. 分步计数原理中的“分步 程序要正确.“步 与“步 之间是连续的,不间断的,缺一不可. 分类计数原理中的“分类 要全面, 不能遗漏.“类 与“类之间是并列的.互斥的.独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法. 例3.电视台在 欢乐今宵 节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? 解: (1) 幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有30×29×20=1740种结果; (3) 幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11400种结果. 由分类计数原理,共有 17400+11400=28800 种不同结果. [评述]在综合运用两个原理时.一般先分类再分步. 例4.从集合{1.2.3.µ .10}中.选出由5个数组成的子集.使得这5个数中的任何两个数的和不等于11.这样的子集共有多少个? 解:和为11的数共有5组:1与10.2与9.3与8.4与7.5与6.子集中的元素不能取自同一组的两数..即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种.所以子集个数为2´2´2´2´2=25=32 [评述]本题的关键是先找出和为11的5组数.然后利用分步计数原理求出结果. 例5.某城市在中心广场造一个 花圃.花圃分为6个部分.现要栽种4种不同 颜色的花.每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜 色的花.不同的栽种方法有 种. 解法1: 因为区域1与其它5个区域都有公共边.所 以当区域1栽种一种颜色的花之后.该颜色的花就不 能栽于其它区域．因而可分两步走.考虑如下: 第一步.在区域1中.栽上一种颜色的花.有4种栽法, 第二步.在剩下的五个区域中.栽种其它三种颜色的花．为此.可将2至6号五个区域分成3组.使同一组中的不同区域没有公共边．这样的分组法有且只有5类.如下表: 第一组 第二组 第三组 第一类 2 3.5 4.6 第二类 2.4 3.5 6 第三类 2.4 3.6 5 第四类 2.5 3.6 4 第五类 2.5 3 4.6 对每一类分得的3个组.将3种颜色的花分别栽于各组.共有 种栽法． 应用乘法原理和加法原理.得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为 解法2 分两类情况考虑: 第1类:第1.2.3.5四个区域栽种不同颜色的4种花.共有 种栽法．对于每一种栽法.第4.6区分别都只有1种颜色的花可栽． 第2类:第1.2.3.5四个区域栽种不同颜色的3种花.共有 种栽法．对于每一种栽法.要么2.5区栽同色花.要么3.5区栽同色花．对于前者.第6区有2种颜色的花可供选栽.第4区只能栽第4种颜色的花,对于后者.第4区有2种颜色的花可供选栽.第6区只能栽第4种颜色的花．即无论何种情形.第4.6区的栽法都是2种． 综合上述情形.应用加法原理与乘法原理.得不同栽种方法的种数为 [评述]本题需抓住花圃布局的要求.看清图形中6个部分的关系,明确每个部分只种同一种颜色的花.相邻部分应种不同颜色的花,而且4种颜色的花都要种上.缺一不可．对这些条件要求.稍有疏忽.遗漏或曲解.都会引致解答出错．其次.应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序.关键是推算过程中分步.分类的安排要合理且严密,此外.在每一分步或分类中.计数不出错,最后.乘法原理和加法原理的运用.以及数值计算还得无误.方能得出正确的答数． 练习题:在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物.要求同 一块中种同一种植物.相邻的两块种不同的植物.现有4种不 同的植物可供选择.则有多少种栽种方案? 解:考虑A.C.E种同一种植物.此时共有 种方法. 考虑A.C.E种二种植物.此时共有 种方法. 考虑A.C.E种同三种植物.此时共有 种方法. 故总计有108+432+192=732种方法. 备用题: 例6.已知集合A= ,B= ,f是从A到B的映射.(1) 从A到B总共有几个映射?(2)若B中每个元素都有原象,则可建立几个不同的映射?(3)若B中的元素0没有原象,则这样的f有几个?(4)若B中有一个元素没有原象,则这样的映射有几个?(5)若f满足 ,则这样的f又有几个? 解 (1)由乘法原理知有 个; (2) f必为一一映射,故有 个; 个; (5) 因4=1+1+1+1=1+1+2+0=1+3+0+0=2+2+0+0, 故可分四类讨论,得满足要求的映射f共有 个 例7.四面体的顶点和各棱中点共有10个点.在其中取4个不共面的点.不同的取法共有( ) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 解:从10个点中任取4个点有 种取法.其中4点共面的情况有三类.第一类.取出的4个点位于四面体的同一个面内.有 种,第二类.取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点.这4点共面.有6种,第三类.由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱).它的4个点共面.有3种.以上三种情况不合要求应减掉.所以不同的取法共有 (种) 【查看更多】

     

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