例4．已知数列{a_n}中，a₁=3，对于nN，以a_n，a_n+1为系数的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且满足（α-1）（β-1）=2．
（1）求证数列{an-

1

3

}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

例1．设a，b，c∈R⁺，求证：2(

a+b

2

-

ab

)≤3(

a+b+c

3

-

3	abc

)．

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-

5

x

不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=

bx+c

ax

的函数为例）

例3．已知m，n∈R*，|

a

|＜1，|

b

|＜1，求证：|

ma

+

nb

|＜m+n.