练习册

  • 练习册
  • 试题
    例1.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力.如果其中甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.问共有多少种参赛方法? 解法一: 问题分成三类:(1)甲乙二人均不参加.有 种,(2)甲.乙二人有且仅有1人参加.有2 ( - )种,(3)甲.乙二人均参加.有 ( -2 + )种.故共有252种． 解法二:六人中取四人参加的种数为 .从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数 - ＝252种 [评述]对于带有限制条件的排列.组合综合题.一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生.从中选取5人担任5门不同学科的科代表.求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解:(1)先取后排,有 种,后排有 种,共有 ＝5400种． (2)除去该女生后先取后排: 种． (3)先取后排,但先安排该男生: 种． (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有 种,再安排该男生有 种,其余3人全排有 种,共 =360种． [思维点拨]特殊元素或特殊位置首先考虑 例3.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试.至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现.则这样的测试方法有多少种可能? 解:第5次必测出一次品.余下3件次品在前4次被测出.从4件中确定最后一件次品有 种方法.前4次中应有1件正品.3件次品.有 种.前4次测试中的顺序有 种.由分步计数原理即得: ( ) ＝576. [评述]本题涉及一类重要问题:问题中既有元素的限制.又有排列的问题.一般是先选元素后排列 例4.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种? 解: 依题意.A.B两种作物的间隔至少6垄.至多8垄.分3种情况:(1)若A.B之间隔6垄.这样的选垄方法有3A 种. (2)若A.B之间隔7垄.这样的选垄方法有2A 种. (3)若A.B之间隔8垄.有A 种方法. 根据分类计数原理可有3A +2A +A ＝6A ＝12种不同的选垄方法. 例5.有两排座位.前排11个座位.后排12个座位.现安排2人就座.规定前排中间的3个座位不能坐.并且这2人不左右相邻.那么不同排法的种数是 解法一: ①前后各一个.有8×12×2＝192种方法 ②前排左.右各一人:共有4×4×2＝32种方法 ③两人都在前排: 两人都在前排左边的四个位置: 乙可坐2个位置 乙可坐1个位置 2+2＝4 1+1＝2 此种情况共有4+2＝6种方法 因为两边都是4个位置.都坐右边亦有6种方法.所以坐在第一排总共有6+6＝12种方法 ④两人都坐在第二排位置.先规定甲左乙右 ∴ 甲左乙右总共有 种方法．同样甲.乙可互换位置.乙左甲右也同样有55种方法.所以甲.乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法.综上所述.按要求两人不同排法有 192+32+12+110＝346种 解法二:考虑20个位置中安排两个人就坐.并且这两人左右不相邻.4号座位与5号座位不算相邻.9号座位与10号座位不算相邻.共有 种 备用题: 例6.有6本不同的书 (1)甲.乙.丙3人每人2本.有多少种不同的分法? (2)分成3堆.每堆2本.有多少种不同的分堆方法? (3)分成3堆.一堆1本.一堆2本.一堆3本.有多少种不同的分堆方法? (4)分给甲.乙.丙3人.一人1本.一人2本.一人3本.有多少不同的分配方法? (5)分成3堆.有2堆各一本.另一堆4本.有多少种不同的分堆方法? (6)摆在3层书架上.每层2本.有多少种不同的摆法? 解:(1)在6本书中.先取2本给甲.再从剩下的4本书中取2本给乙.最后2本给丙.共有 (种). (2)6本书平均分成3堆.用上述方法重复了 倍.故共有 (种). (3)从6本书中.先取1本做1堆.再在剩下的5本中取2本做一堆.最后3本做一堆.共有 (种) 的分堆中.甲.乙.丙3人任取一堆.故共有 (种). (5)平均分堆要除以堆数的全排列数.不平均分堆则不除.故共有 (种). (6)本题即为6本书放在6个位置上.共有 (种). 例7.(1)10个优秀指标分配给6个班级.每班至少一个.共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀名额分配到一.二.三3个班.若名额数不少于班级序号数.共有多少种不同的分配方法? 解:(1)如果按指标的个数进行分类.讨论比较复杂.可构造模型.即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙.即 即为所求. (2)先拿3个指标分别给二班1个.三班2个.则问题转化为7个优秀名额分给三个班.每班至少一个.同(1)知 即为所求. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    同步练习册答案