已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．设P₄的坐标为（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范围．

已知△OFQ的面积为2

6

，且

OF

•

FQ

=m．
（1）当

6

＜m＜4

6

时，求向量

OF

与

FQ

的夹角θ的取值范围；
（2）设|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|

OQ

|取得最小值时，求此双曲线的方程．

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

与

b

夹角为60°．
（1）求

a

•

b

；
（2）求（2

a

-

b

）•（

a

+

b

）；
（3）若

a

-2

b

与

a

+k

b

垂直，求实数k的值．

已知

a

=（1，2），

b

=（-3，1）．
（Ⅰ）求

a

-2

b

；
（Ⅱ）设

a

，

b

的夹角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）若向量

a

+k

b

与

a

-k

b

互相垂直，求k的值．

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)
（1）求|2

a

-4

b

|；
（2）若k

a

+2

b

与2

a

-4

b

平行，求k的值；
（3）若k

a

+2

b

与2

a

-4

b

的夹角是钝角，求实数k的取值范围．