定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x₀∈I，使f（x₀）=f′（x₀）=0，则称x₀为函数y=f（x）的新驻点．已知函数f（x）=a^x-x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x₀，并求此时a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x³，g（x）=x³-3ax²+2．
（Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”
（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞

3

2

，且h（a）=2，试求a的取值范围．

定义：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=F(x，

x

a

)（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的单调区间；
（2）若f(x)＜-

1

2

恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）记f′（x）为f（x）的导数，当a=1时，对任意的n∈N^*，在区间[1，f′（n）]上总存在k个正数a₁，a₂，a₃，…，a₄，使

k

i=1

f′(ai)≥2010成立，试求k的最小值．

定义：对于任意n∈N^*，满足条件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为bn=50n-(

3

2

)n，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．