例1:根据下列条件.求双曲线方程: (1) 与双曲线有共同渐近线.且过点 , (2) 与双曲线有公共焦点.且过点 . [解]:(1)设所求双曲线方程为 .将点代入——青夏教育精英家教网—

例1:根据下列条件.求双曲线方程: (1) 与双曲线有共同渐近线.且过点 , (2) 与双曲线有公共焦点.且过点 . [解]:(1)设所求双曲线方程为 .将点代入得 . 所以双曲线方程为 . (2)设双曲线方程为 .将点代入得 . 所以双曲线方程为 . [思维点拨]利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了.要善于选择恰当的方程模型. 例2:在双曲线上求一点P.使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. [解]:设P点的坐标为 . 分别为双曲线的左.右焦点. ∵双曲线的准线方程为 . ∴ ∵ ∴P在双曲线的右支上. ∴ ∴ .把代入方程得 . 所以.P点的坐标为 [思维点拨]运用焦半径公式.解题简洁明了. 例3．设点P到点M距离之差为2m.到x轴.y轴距离之比为2.求m的取值范围. 解:设点P的坐标为(x,y).依题意得 . (1) 因此.点P三点不共线.得 . 因此.点P在以M.N为焦点.实轴长为2 的双曲线上.故 (2) 将.并解得 . 解得0＜ .即m的取值范围为 . [思维点拨]本题考查了双曲线的定义.标准方程等基本知识.考查了逻辑思维能力及分析问题.解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义. 例4:已知双曲线的离心率 .左.右焦点分别的为 .左准线为 .能否在双曲线的左支上找到一点P.使得是P到的距离与的等比中项. [解]:设在左半支上存在点P.使 .由双曲线的第二定义知 .即 ① 再由双曲线的第一定义.得 ② 由①②.解得: 由在Δ 中有 . ③ 利用 .从③式得解得 .与已知矛盾. ∴符合条件的点P不存在. [思维点拨]利用定义及假设求出离心率的取值是关键. 例5．如图.在双曲线的上支有三点 .它们与点F(0.5)的距离成等差数列. (1) 求 (2) 证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点.并求此点坐标解:(1) 故F双曲线的焦点.设准线为 .离心率为 . 由题设有 (1) 分别过A.B.C作x轴的垂线 .则由双曲线的第二定义有 .代入(1)式.得 .于是两边均加上准线与x轴距离的2倍.有 (2)AC的中垂线方程为 (2) 由于A.C在双曲线上.所以有相减得故(2)式化为 .易知此直线过定点 . [思维点拨]利用第二定义得焦半径.可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点.中点问题往往把A.C的坐标代入方程.两式相减.变形.即可解决问题. 例6: 已知双曲线的焦点在轴上.且过点和 .P是双曲线上异于A.B的任一点.如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上.求双曲线的标准方程. [解]:设双曲线方程为为双曲线上任一点.BN.PM是ΔAPB的两条高.则BN方程为 ① PM方程为 ② 又 ③ 得 .又H在双曲线上.∴ ④ ∴ .所以双曲线方程为 [思维点拨]设方程.消参数. 例7:双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 .它的两个焦点分别为F1.F2.直线过F2且与直线F1F2的夹角为 .且 . 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P.线段P F2与双曲线的交点为Q.且 : = : .建立适当的坐标系.求双曲线的方程. [解]:以F1F2的中心为原点.F1.F2所在的直线为轴建立坐标系. 则所求双曲线方程为 .设 . 不妨设的方程为 .它与轴交点由定比分点坐标公式Q点的坐标为即由点Q在双曲线上可得 ① 又 ② ③ 解得 .所以双曲线方程为【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线

=1有共同的渐近线，且过点（-3，2

）；
（2）与双曲线

=1有公共焦点，且过点（3

，2）．

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根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线

=1有共同的渐近线，且过点（-3，2

）；
（2）与双曲线

=1有公共焦点，且过点（3

，2）．