（本题满分14分） 已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（3）如何由函数的图像通过适当的变换得到函数的图像，写出变换过程.

（本题满分14分）已知函数，，，．的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为．

（Ⅰ）求的最小正周期及的值；

（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值．

（本小题满分14分） 已知函数．

（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值并求点P的坐标；（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交S、T点，以S为切点作的切线，以T为切点作的切线．是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

（本小题满分14分） 已知函数．

（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值并求点P的坐标；（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交S、T点，以S为切点作的切线，以T为切点作的切线．是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

（本小题满分14分）已知函数。

(1)求函数的单调区间与最值；

(2)若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）

(3)如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）