运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行.共线等问题 运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行.共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多. 例1.已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在轴上.斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点.与共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率, (Ⅱ)设M为椭圆上任意一点.且.证明为定值. 解:设椭圆方程为 则直线AB的方程为.代入.化简得 . 令A().B).则 由与共线.得 又. 即.所以. 故离心率 知.所以椭圆可化为 设.由已知得 在椭圆上. 即① 由(1)知 又.代入①得 故为定值.定值为1. 变式:椭圆的中心是原点O.它的短轴长为.相应于焦点F的准线l与x轴相交于点A,.过点A的直线与椭圆相交于P.Q两点. (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率, (Ⅱ)若.求直线PQ的方程, (Ⅲ)设.过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M. 证明: [简解] (Ⅰ) 椭圆方程为,离心率 (Ⅱ)略. (Ⅲ) [证明] 设P(x1,y1),Q (x2,y2),又A(3.0).由已知得方程组: , 注意λ＞1.消去x1.y1和y2 得 因F, M(x1,-y1). 故 而 所以 . 【
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