已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（1）若∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，求证：离心率e=

cos α+β 2

cos α-β 2

；
（2）若∠F₁PF₂=2θ，求证：△F₁PF₂的面积为b²•tanθ．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的

2

倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△OAB的面积．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点P(2，

2

)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为

4 5

5

．
（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；
（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有

MN

NQ

为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）对（1）中的椭圆C，直线y=x+1与C交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（3）设B为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②a²+b²=2a²b²．求椭圆长轴的取值范围．