在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点.

如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已PA=5，PB=3，PC=

15 2

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，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
（1）求β；
（2）求向量

AC

，

PC

的数量积

AC

•

PC

的值．

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A、B两点，求证：

OA

⊥

OB

；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．