设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a.b.c是两两不等的常数).则++= . 解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc. ∴(x)=3——青夏教育精英家教网—

设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a.b.c是两两不等的常数).则++= . 解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc. ∴(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca. 又(a)=(a-b)(a-c).同理(b)=(b-a)(b-c). (c)=(c-a)(c-b). 代入原式中得值为0. 答案:0 ●典例剖析 [例1] (1)设a＞0.f(x)=ax2+bx+c.曲线y=f(x)在点P(x0.f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0.］.则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为 A.［0.］ B.［0.］ C.［0.||］ D.［0.||］曲线y=x3-3x2+1在点处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 已知曲线y=x3+.则过点P(2.4)的切线方程是 . 过点P且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1.1)处的切线平行的直线方程是 . 剖析:本题的各小题都是考查导数的几何意义的.导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率. 解析:(1)∵过P(x0.f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是［0.］. ∴P到曲线y=f(x)对称轴x=-的距离d=x0-(-)=x0+. 又∵(x0)=2ax0+b∈［0.1］. ∴x0∈［.］.∴d=x0+∈［0.］. 在曲线上.y′=3x2-6x. ∴切线斜率为3×12-6×1=-3. ∴所求切线方程为y+1=-3(x-1). (3)∵P(2.4)在y=x3+上. 又y′=x2.∴斜率k=22=4. ∴所求直线方程为y-4=4(x-2).4x-y-4=0. (4)y′=6x-4.∴切线斜率为6×1-4=2. ∴所求直线方程为y-2=2(x+1).即2x-y+4=0. 答案:4x-y-4=0 (4)2x-y+4=0 评述:利用导数的几何意义.求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外.还有哪些方面的应用? 答:导数的应用较广.如求函数的单调区间.求函数的极值.最值等. [例2] 曲线y=x3在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析:求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点. 解:曲线在点处切线的方程为y=27x-54.此直线与x轴.y轴交点分别为. ∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54. 评述:求切线的斜率是导数的一个基本应用. [例3] 已知曲线C:y=x3-3x2+2x.直线l:y=kx.且直线l与曲线C相切于点(x0.y0)(x0≠0).求直线l的方程及切点坐标. 剖析:切点(x0.y0)既在曲线上.又在切线上.由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可. 解:∵直线过原点.则k=(x0≠1). 由点(x0.y0)在曲线C上.则y0=x03-3x02+2x0. ∴=x02-3x0+2. 又y′=3x2-6x+2. ∴在(x0.y0)处曲线C的切线斜率应为k=(x0)=3x02-6x0+2. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得2x02-3x0=0. 解得x0=(∵x0≠0). 这时.y0=-.k=-. 因此.直线l的方程为y=-x.切点坐标是(.-). 评述:对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时.要有求导意识. [例4] 证明:过抛物线y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0.x1<x2)上两点A(x1.0).B(x2.0)的切线.与x轴所成的锐角相等. 剖析:利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系.只要求出切线的斜率进行比较即可. 解:y′=2ax-a(x1+x2). y′|=a(x1-x2).即kA=a(x1-x2).y′|=a(x2-x1).即kB=a(x2-x1). 设两条切线与x轴所成的锐角为.β.则tan=|kA|=|a(x1-x2)|. tanβ=|kB|=|a(x2-x1)|.故tan=tanβ. 又.β是锐角.则=β. 评述:由tan=tanβ不能直接得=β.还必须有.β为锐角时才能得=β. ●闯关训练夯实基础【查看更多】