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    根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律.试猜测第n个图形中有 个点. 解析:观察图形点分布的变化规律.发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边.每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边.每边两个点;-;依次类推.第n个图形中除中心外有n条边.每边n-1个点.故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1. 答案:n2-n+1 ●典例剖析 [例1] 比较2n与n2的大小(n∈N *). 剖析:比较两数大小的常用方法本题不适用.故考虑用归纳法推测大小关系.再用数学归纳法证明. 解:当n=1时.21＞12. 当n=2时.22=22.当n=3时.23＜32. 当n=4时.24=42.当n=5时.25＞52. 猜想:当n≥5时.2n＞n2. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=5时.25＞52成立. (2)假设n=k(k∈N *.k≥5)时2k＞k2. 那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+(1+1)k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=(k+1) 2. ∴当n=k+1时.2n＞n2. 由可知.对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立. 综上.得当n=1或n≥5时.2n＞n2,当n=2.4时.2n=n2,当n=3时.2n＜n2. 评述:用数学归纳法证不等式时.要恰当地凑出目标和凑出归纳假设.凑目标时可适当放缩. 深化拓展 当n≥5时.要证2n＞n2.也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C+C+C+-+C+C+C＞1+n++=1+n+n2-n＞n2. [例2] 是否存在常数a.b.c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+-+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论. 剖析:先取n=1.2.3探求a.b.c的值.然后用数学归纳法证明对一切n∈N*.a.b.c所确定的等式都成立. 解:分别用n=1.2.3代入解方程组 下面用数学归纳法证明. (1)当n=1时.由上可知等式成立; (2)假设当n=k+1时.等式成立. 则当n=k+1时.左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+-+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+-+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+-+k(2k+1) =k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+-+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2. ∴当n=k+1时.等式成立. 由得等式对一切的n∈N*均成立. 评述:本题是探索性命题.它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题.并证明所得结论的正确性.这是非常重要的一种思维能力. [例3]设a0为常数.且an=3n-1-2an-1(n∈N*).证明:n≥1时.an=[3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2n·a0. 剖析:给出了递推公式.证通项公式.可用数学归纳法证. 证明:(1)当n=1时.［3+2］-2a0=1-2a0.而a1=30-2a0=1-2a0. ∴当n=1时.通项公式正确. (2)假设n=k(k∈N*)时正确.即ak=［3k+(-1)k-1·2k］+(-1)k·2k·a0. 那么ak+1=3k-2ak=3k-×3k+(-1)k·2k+(-1)k+1·2k+1a0 =·3k+(-1)k·2k+1+(-1)k+1·2k+1·a0 =［3k+1+(-1)k·2k+1］+(-1)k+1·2k+1·a0.∴当n=k+1时.通项公式正确. 由可知.对n∈N*.an=［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2n·a0. 评述:由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键. 深化拓展 本题也可用构造数列的方法求an. 解:∵a0为常数.∴a1=3-2a0. 由an=3n-1-2an-1. 得=-+1. 即=-·+. ∴-=-(-). ∴{-}是公比为-.首项为的等比数列. ∴-=(-a0)·(-)n-1. ∴an=(-a0)·(-2)n-1×3+×3n =［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2n·a0. 注:本题关键是转化成an+1=can+d型. ●闯关训练 夯实基础 【查看更多】

     

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