在四面体ABCD中.M.N分别是面△ACD.△BCD的重心.则四面体的四个面中与MN平行的是 . 解析:连结AM并延长.交CD于E.连结BN并延长交CD于F.由重心性质可知.E.F——青夏教育精英家教网—

在四面体ABCD中.M.N分别是面△ACD.△BCD的重心.则四面体的四个面中与MN平行的是 . 解析:连结AM并延长.交CD于E.连结BN并延长交CD于F.由重心性质可知.E.F重合为一点.且该点为CD的中点E.由==得MN∥AB. 因此.MN∥平面ABC且MN∥平面ABD. 答案:平面ABC.平面ABD ●典例剖析 [例1] 如下图.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB.M∈AC.N∈FB且AM=FN.求证:MN∥平面BCE. 证法一:过M作MP⊥BC.NQ⊥BE.P.Q为垂足.连结PQ. ∵MP∥AB.NQ∥AB.∴MP∥NQ. 又NQ= BN=CM=MP.∴MPQN是平行四边形. ∴MN∥PQ.PQ平面BCE. 而MN平面BCE. ∴MN∥平面BCE. 证法二:过M作MG∥BC.交AB于点G.连结NG. ∵MG∥BC.BC平面BCE. MG平面BCE. ∴MG∥平面BCE. 又==. ∴GN∥AF∥BE.同样可证明GN∥平面BCE. 又面MG∩NG=G. ∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE. 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:①利用直线和平面平行的判定定理.通过“线线平行.证得“线面平行,②利用两平面平行的性质定理.通过“面面平行.证得“线面平行. [例2] 如下图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.侧面对角线AB1.BC1上分别有两点E.F.且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD. 证法一:分别过E.F作EM⊥AB于点M.FN⊥BC于点N.连结MN. ∵BB1⊥平面ABCD. ∴BB1⊥AB.BB1⊥BC. ∴EM∥BB1.FN∥BB1.∴EM∥FN. 又B1E=C1F.∴EM=FN. 故四边形MNFE是平行四边形. ∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中. ∴EF∥平面ABCD. 证法二:过E作EG∥AB交BB1于点G.连结GF.则=. ∵B1E=C1F.B1A=C1B.∴=. ∴FG∥B1C1∥BC. 又∵EG∩FG=G.AB∩BC=B. ∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中. ∴EF∥平面ABCD. 评述:证明线面平行的常用方法是:证明直线平行于平面内的一条直线,证明直线所在的平面与已知平面平行. [例3] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13.M.N分别是PA.BD上的点.且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. (1)求证:直线MN∥平面PBC, (2)求直线MN与平面ABCD所成的角. (1)证明:∵P-ABCD是正四棱锥.∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E.连结PE. ∵AD∥BC.∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA. ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE. 又∵PE在平面PBC内.∴MN∥平面PBC. 知MN∥PE.∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角. 设点P在底面ABCD上的射影为O.连结OE.则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知PO==. 由(1)知.BE∶AD=BN∶ND=5∶8. ∴BE=. 在△PEB中.∠PBE=60°.PB=13.BE=. 根据余弦定理.得PE=. 在Rt△POE中.PO=.PE=. ∴sin∠PEO==. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. 思考讨论证线面平行.一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法.作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角.计算困难.而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角.线面角的重要方法. ●闯关训练夯实基础【查看更多】

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