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    已知四边形ABCD中.=a-2c.=5a+6b-8c.对角线AC.BD的中点分别为E.F.则= . 解析:∵=++. 又=++. 两式相加.得2=(+)+(+)+(+). ∵E是AC的中点. 故+=0.同理.+=0. ∴2= +=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.∴=3a+3b-5c. 答案:3a+3b-5c ●典例剖析 [例1] 证明空间任意无三点共线的四点A.B.C.D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O.存在实数x.y.z且x+y+z=1.使得=x+y +z. 剖析:要寻求四点A.B.C.D共面的充要条件.自然想到共面向量定理. 解:依题意知.B.C.D三点不共线.则由共面向量定理的推论知:四点A.B.C.D共面对空间任一点O.存在实数x1.y1.使得=+x1 +y1=+x1(-)+y1(-)=(1-x1-y1)+x1+y1.取x=1-x1-y1.y=x1.z=y1.则有=x+y+z.且x+y+z=1. 特别提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系.即任一向量都可由基向量唯一的线性表示.为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件.可用以证明点共(线)面.本题的结论.可作为证明空间四点共面的定理使用. [例2] 在平行四边形ABCD中.AB=AC=1.∠ACD=90°.将它沿对角线AC折起.使AB与CD成60°角.求B.D间的距离. 解:如下图.因为∠ACD=90°. 所以· =0.同理.·=0. 因为AB与CD成60°角. 所以〈.〉=60°或120°.因为=++. 所以2=2+2+2+2·+2·+2·=2+2+2+2·=3+2×1×1×cos〈.〉= 4 (〈.〉=60°). 2 (〈.〉=120°). 所以||=2或. 即B.D间的距离为2或. [例3] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.BD1交平面ACB1于点E. 求证:(1)BD1⊥平面ACB1, (2)BE=ED1. 证明:(1)我们先证明BD1⊥AC. ∵ = + +. = +. ∴·=( + +)·(+)=·+ ·=·-·=||2-||2=1-1=0. ∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.于是BD1⊥平面ACB1. (2)设底面正方形的对角线AC.BD交于点M.则= = .即2=.对于空间任意一点O.设=b. =m.=b1.=d1.则上述等式可改写成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记==e.此即表明.由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ(λ=2)之比.所以点E既在线段B1M(B1M面ACB1)上又在线段D1B上.所以点E是D1B与平面ACB1之交点.此交点E将D1B分成2与1之比.即D1E∶EB=2∶1.∴BE=ED1. 思考讨论 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直.线线平行.四点共面.求长度.求夹角等问题. ●闯关训练 夯实基础 【查看更多】

     

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    已知四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝________．

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