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（本题满分12分）
某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号	分组	频数	频率
第1组		5	0.050
第2组		①	0.350
第3组		30	②
第4组		20	0.200
第5组		10	0.100
合计		100	1.000

频率分布表

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（本题满分12分）
某高校在2012年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组得到的频率分布直方图如图所示，

（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的
面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

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一．选择题

BADCC  ACCCC   AD

二．填空题

13．      14． 29     15．（开闭区间均可）   16． ①  ④

三、解答题

17．解：

（1）∵, ∴,

即………3分

则 .,  ∴………6分

（2）由题知，得， ………8分

得sinB=2cosB， ………10分

∴ ………12分

18．解：

（1）得分为60分，12道题必须全做对。在其余的5道题中,有两道题答对的概率为，

有一道题答对的概率为，还有两道答对的概率为………2分

所以得分为60分的概率为：P＝………4分   

   （2）由可得 ………5分

得，得2<x<15，则x=5或x=10，则相应得分为55分或50分……7分

得分为50分表示只做对了10道题，做错2道题，所以概率为

+

+= ………9分

得分为55分表示只做对了11道题，做错1道题，所以概率为：

P₂== ………11分

则所求概率为+=。答：该考生得分的概率为 ………12分

19．证明：

（1）面A₁B₁C₁∥面ABC，故B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC又BC⊥AC ，则B₁C₁⊥A₁C₁………2分

又 面AB₁C⊥面ABC，则BC⊥面AB₁C，则BC⊥AB_1，B₁C₁⊥AB₁  又∵B₁C₁∩A₁C₁=C₁，

 B₁C₁∩AB₁=B₁，故B₁C₁为异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线………4分

（2）由于BC⊥面AB₁C   则面VBC⊥面AB₁C，过A作AH⊥B₁C于H，则AH⊥面VBC

 又AB₁C 为等边三角形且AC=，则AH=为A到平面VBC的距离………7分

（3）过H作HG⊥VB于G，连AG则∠AGH为二面角A-VB-C的平面角

在RtB₁CB中 ………10分

又RtB₁HG∽RtB₁BC  则，即

故二面角A-VB-C的大小为………12分

（本题也可用建立空间直角坐标系然后用空间向量求解，评分标准参照执行）

20．解：

（1）设{a_n}的公差d,为{b_n}的公比为q,则

………6分

（2）{C_n}的前n-1项中共有{a_n}中的1+2+3+…(n-1)=个项………8分

且{a_n}的第项为………10分

故C_n是首项为，公差为2，项数为n的等差数列的前n项和，

………12分

21．解：

（1）f^‘(x)=x²+ax+b,由 f^‘(3)=9+3a+b=0得b=-3a-9………2分

（2）令f^‘(x)= x²+ax-3a-9=（x-3）(x+a+3)=0得x=3或x=-a-3

当a=-6时，f^‘(x)=≥0,则f(x)无单调递减区间………4分

当a>-6时，令f^‘(x) =（x-3）(x+a+3)≤0，得-a-3≤x≤3,

则f(x)的单调递减区间为[-a-3,3] ………6分

当a<-6时,易得f(x)的单调递减区间为[3,-a-3]

综上所述当a=-6时， f(x)无单调递减区间；当a>-6时，f(x)的单调递减区间为[-a-3,3],

 当a<-6时, f(x)的单调递减区间为[3,-a-3] ………8分

（3）由a>0知-a-3<-3，由（2）知f(x)在[-3，3]上是减函数，又-3≤3cos≤3,-3≤3sin≤3,则要恒成立只要|f(-3)-f(3)|<72恒成立………10分

又|f(-3)-f(3)|=18|a+2|<72,得-6<a<2,又a>0,则0<a<2………12分

22．解：

（1）由题意设椭圆方程为………1分

则，椭圆方程为………4分

（2）设，

则………7分

又则………9分

则=

………11分

由于，

因此的取值范围为………14分