如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-x²+2（0≤x≤

2

）的图象，且点M到边OA距离为t(

2

3

≤t≤

4

3

)．
（1）当t=

2

3

时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

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如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-

1

2

x2+2(0≤x≤2的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．
（Ⅰ）当t=

1

2

时，求直路l所在的直线方程；
（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．答案：A

解：依题意可知：由

显然：但不能推出。

故选A ；

2．答案：D

解：依题意可知：设点，则在点P处的切线的斜率为，即，又

故选D ；

3．答案：C

解：依题意可知：由是奇函数，

故选C ；

4．答案：A

解：依题意可知：由

故选A；

5．答案：C

解：如图：函数是周期函数，T=1。

故选C；

6．答案：A

解：依题意可知：由，，

又

。

故选A ；

7．答案：B

解：依题意可知：由图可知：

。

8．答案：A

解：依题意可知：如图，

，

则在中，；

则在中，；

则在中，；

故选A ；

9．答案：D

解：依题意可知：因表示与同方向的单位向量，

表示与同方向的单位向量，故，而，

又（+），说明向量与向量垂直，根据向量加法的平行四边形法则可知：向量所在直线 过向量所在线段中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可逆推为等腰三角形。又与夹角为，故为等边三角形。

故选D ；

10．答案：A

解：设，在上，，，，排除D；在上，，，，排除B与C；故选A。

11．答案：B

解法一：正方体的八个顶点可确定条直线；条直线组成对直线；正方体的八个顶点可确定个面，其中12个四点面（6个表面，4个面对角面，2个体对角面），8个三点面；每个四点面上有条直线，6条直线组成对直线，12个四点面由12×15=180对直线组成；每个三点面上有条直线，3条直线组成对直线，8个三点面由8×3=24对直线组成；由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为；

解法二：正方体的八个顶点可确定个四面体，每个四面体中有三对异面直线，由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为；

12．答案：A

解：①正确；①中依题意可令，

当时，在上为减函数，

又因在区间为减函数，故；

②错误；②中当

当

③错误；③中当时，

④正确；

圆的对称轴为直径所在的直线，故原命题正确。

故答案为：A。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

13．答案：

解：设P点的坐标为，则

直线PQ的方程为：即，

Q点的坐标为，R点的坐标为，

故答案为：；

14．答案：

解：依题意可知：正四棱锥S―ABCD的底面正方形ABCD在过球心O的大圆上，设球半径为R，AC=2R=，

；

设球心O到侧面SAB的距离为，连接

，，过作于，

连接SM，则，

，

又4。

故答案为：；

15．答案：10

解：依题意可知：由令，故的系数为。

故答案为：10    ；

16．答案：③

解：依题意可知：①错，因在上，为减函数，而在上，为增函数。

②错，因在上，为增函数，而在上，为减函数。

③正确。因在上，为增函数。

④错，因在上，为增函数，而在上，为减函数，故时，函数有极大值。

⑤错，因在上，为增函数，故时，函数没有极大值。

故答案为：③；

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）解：，设中有个元素，显然有，其中最大的一个是，由于是正整数集合，故且；

当时，，此时不符合题意；

当时，或或，显然只有符合题意；

当时，设其中，

此时令 ，

若，则   ，

不符合题意；

若，由于是正整数集合，故，

    故时不符合题意；

综上所述。

（18）解：令

故当

（19）。答：与平面垂直的直线条数有1条为；

证法一：依题意由图可知：连，

连，

；

证法二：依题意由图建立空间直角坐标系：

，

设与垂直的法向量为，则有：

，而，故。

（20）解：设S为劳动村全体农民的集合，为季度劳动村在外打工的农民的集合，则为季度劳动村没有在外打工的农民的集合，由题意有

所以

劳动村的农民全年在外打工为，则

，

但，

所以，

即

。

故劳动村至少有的农民全年在外打工。

（21）解：①作图进行受力分析，如下图示；

由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：

② ∵，∴

故在上为减函数，

∴当逐渐增大时，也逐渐增大。

③要最小，则为最大，∴当为时，最小，最小值是。

④要，则，∴当为时，。

（22）解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为

将代入方程，并整理得  

设则有  

所以夹角的大小为

（Ⅱ）由题设 得