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    综合考查.包括解决应用问题.将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性.方程根的分布.解析几何中的切线问题等有机的结合在一起.设计综合试题. ★★★高考将考什么 [范例1]已知函数 在 处取得极值. (1)讨论 和 是函数 的极大值还是极小值, (2)过点 作曲线 的切线.求此切线方程. (1)解: .依题意. .即 解得 . ∴ . 令 .得 . 若 .则 .故 在 上是增函数. 在 上是增函数. 若 .则 .故 在 上是减函数. 所以. 是极大值, 是极小值. (2)解:曲线方程为 .点 不在曲线上. 设切点为 .则点M的坐标满足 . 因 .故切线的方程为 注意到点A在切线上.有 化简得 .解得 . 所以.切点为 .切线方程为 . [点晴]过已知点求切线.当点不在曲线上时.求切点的坐标成了解题的关键. [文] 已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+c在x＝- 与x＝1时都取得极值 (1) 求a.b的值与函数f(x)的单调区间 (2) 若对xÎ<c2恒成立.求c的取值范围. 解:(1)f(x)＝x3+ax2+bx+c.f¢(x)＝3x2+2ax+b 由f¢( )＝ .f¢(1)＝3+2a+b＝0得a＝ .b＝-2 f¢(x)＝3x2-x-2＝.函数f(x)的单调区间如下表: x - 1 f¢(x) + 0 - 0 + f(x) ­ 极大值 ¯ 极小值 ­ 所以函数f(x)的递增区间是与.递减区间是 (2)f(x)＝x3- x2-2x+c.xÎ.当x＝- 时.f(x)＝ +c 为极大值.而f(2)＝2+c.则f(2)＝2+c为最大值.要使f(x)<c2恒成立.只需c2>f(2)＝2+c.解得c<-1或c>2 [范例2]设函数 .求a的取值范围.使函数f(x)在区间 上是单调函数. 解: (1)当 时. 恒成立. f(x)在区间 上是减函数. (2)当 时.解不等式 得 上f(x)是单调递减速函数 得 上f(x)是单调递增函数 综合得:当且仅当a 时.f(x)在区间 上是单调函数. [点晴]由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视 [文]设 .点P是函数 的图象的一个公共点.两函数的图象在点P处有相同的切线. (Ⅰ)用 表示a.b.c, 上单调递减.求 的取值范围. 解:(I)因为函数 . 的图象都过点.所以 . 即 .因为 所以 . 又因为 . 在点处有相同的切线.所以 而 将 代入上式得 因此 故 . . (II)解法一 . 当 时.函数 单调递减. 由 .若 ,若 由题意.函数 在上单调递减.则 所以 又当 时.函数 在上单调递减. 所以 的取值范围为 解法二: 因为函数 在上单调递减.且 是 上的抛物线. 所以 即 解得 所以 的取值范围为 [范例3]设定义在R上的函数f(x)＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x(其中ai∈R.i＝0.1.2.3).当时.f(x)取得极大值.并且函数y＝f′(x)的图象关于y轴对称. ⑴求f(x)的表达式, ⑵试在函数f (x)的图象上求两点.使以这两点为切点的切线互相垂直.且切点的横坐标都在区间[-1.1]上, ⑶求证:|f(sinx)-f(cosx)|≤)(x∈R)． 解:∵f′(x)＝4a0x3+3a1x2+2a2x+a3为偶函数. ∴a0＝a2＝0.∴f(x)＝a1x3+a3x 又当x＝-时.f(x)取得极大值 ∴ 解得∴f(x)＝x3-x.f′(x)＝2x2-1 ⑵解:设所求两点的横坐标为x1.x2.则(2x12-1)(2x22-1)＝-1 又∵x1.x2∈[-1.1].∴2x12-1∈[-1.1].2x22-1∈[-1.1] ∴2x12-1.2x22-1中有一个为1.一个为-1. ∴x1＝0.x2＝±1.∴所求的两点为与(-1.). ⑶证明:易知sinx∈[-1.1].cosx∈[-1.1]. 当0<x<时.f′(x)<0,当<x<1时.f′(x)>0. ∴f(x)在[0.]为减函数.在[.1]上为增函数. 又f(0)＝0.f()＝- .f(1)＝-.而f(x)在[-1.1]上为奇函数. ∴f(x)在[-1.1]上最大值为.最小值为-. ∴f(sinx)∈[-.].f(cosx)∈[-.]. ∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤- [点晴]本题证明不等式的关键是转化为求最值问题 [文]已知 是二次函数.不等式 的解集是 且 在区间 上的最大值是12. (I)求 的解析式, (II)是否存在实数 使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根?若存在.求出 的取值范围,若不存在.说明理由. 解:(I) 是二次函数.且 的解集是 可设 在区间 上的最大值是 由已知.得 (II)方程 等价于方程 设 则 当 时. 是减函数, 当 时. 是增函数. 方程 在区间 内分别有惟一实数根.而在区间 内没有实数根. 所以存在惟一的自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个不同的实数根. [范例4]已知函数 . (1)求函数 的反函数 的导数 (2)假设对任意 成立.求实数m的取值范围. 解:(1) , (2) 令: 所以 都是增函数.因此当 时. 的最大值为 的最小值为 而不等式②成立当且仅当 即 .于是得 解法二:由 得 设 于是原不等式对于 恒成立等价于 ③-7分 由 .注意到 故有 .从而可 均在 上单调递增.因此不等式③成立当且仅当 即 [点晴]求参数的取值范围.凡涉及函数的单调性.最值问题时.用导数的知识解决较简单. [文]如图所示.曲线段OMB : 在点 处的切线PQ交x轴于点P.交线段AB于点Q.且BA 轴于A. o B o Q M A P x y o (I)试用t表示切线PQ的方程, 的最大值. 同时指出g(t) 在上单调递减时 的最小值. 解:(I) K= = 2 t,切线方程为 y–t 2 = 2t(x-t), 即y = 2 t x - t2 (II)在切线方程中 令y = 0得 x = 函数 在 上单调递增,在 上单调递减 依题知 的最大值是6. 故 的最小值是 [自我提升] 1函数 有极值的充要条件是 A． B． C． D． 【查看更多】

     

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