题目列表(包括答案和解析)
已知函数,
.
(Ⅰ)若函数和函数
在区间
上均为增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若方程有唯一解,求实数
的值.
【解析】第一问,
当0<x<2时,,当x>2时,
,
要使在(a,a+1)上递增,必须
如使在(a,a+1)上递增,必须
,即
由上得出,当时
,
在
上均为增函数
(Ⅱ)中方程有唯一解
有唯一解
设 (x>0)
随x变化如下表
x |
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
极小值 |
|
由于在上,
只有一个极小值,
的最小值为-24-16ln2,
当m=-24-16ln2时,方程有唯一解得到结论。
(Ⅰ)解:
当0<x<2时,,当x>2时,
,
要使在(a,a+1)上递增,必须
如使在(a,a+1)上递增,必须
,即
由上得出,当时
,
在
上均为增函数 ……………6分
(Ⅱ)方程有唯一解
有唯一解
设 (x>0)
随x变化如下表
x |
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
极小值 |
|
由于在上,
只有一个极小值,
的最小值为-24-16ln2,
当m=-24-16ln2时,方程有唯一解
D
[解析] 依题意得0<a<1,于是由f(1-)>1得loga(1-
)>logaa,0<1-
<a,由此解得1<x<
,因此不等式f(1-
)>1的解集是(1,
),选D.
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意
,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【解析】第一问利用的定义域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
第二问中,若对任意不等式
恒成立,问题等价于
只需研究最值即可。
解: (I)的定义域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
........4分
(II)若对任意不等式
恒成立,
问题等价于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
故也是最小值点,所以; ............6分
当b<1时,;
当时,
;
当b>2时,;
............8分
问题等价于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以实数b的取值范围是
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
(0<φ<π,ω>0)过点
,函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像和性质的运用,第一问中利用函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.得
,
所以
第二问中,,
可以得到单调区间。
解:(Ⅰ)由题意得,
,…………………1分
代入点
,得
…………1分
,
∴
(Ⅱ),
的单调递减区间为
,
.
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