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    例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A) (B) (C)5 (D)6 分析及解:设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得: 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ∴ ,应选C. 例2．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ). (A)1 (B) (C)2 (D)[来源:Z|X|X|K] 分析及解:欲求 (1),而由已知能得到什么呢? 由∠F1PF2=90°,得 (2), 又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 两式与要求的三角形面积有何联系呢?我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即, 故 ∴ ,∴ 选(A). 注:配方法实现了“平方和 与“和的平方 的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程. 分析及解:由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成: (1),故只需求出a可求解. 设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解. 由(3)式有(y≥a或y≤-a). 二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论. (1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值, ∴令,得a2=4 ∴所求双曲线方程为. (2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值, ∴令,得a2=49, ∴所求双曲线方程为. 注:此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题. 例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式. 分析及解:因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),可知 , ∴. 比较系数可知: [来源:] 解此方程组,得 ,b=2,∴所求f(x)=. 例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标. 分析及解:设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y) (1) 此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢?有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件?是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好. 如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2) 这时我们可联想到x2+y2与x+y.xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy. 因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式 得 S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数, ∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴当t=4时,SABCD的最小值为. 此时 注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若≥3,求k的取值范围. 解:∵≥3, 以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0, ∴解得k∈(-)∪[,+]. 例7．点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值. 解:∵点P(x,y)在椭圆上移动, ∴可设 于是 =[来源:学#科#网] = 令, ∵,∴|t|≤. 于是u=,(|t|≤). 当t=,即时,u有最大值. ∴θ=2kπ+(k∈Z)时,. 例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方 程整理得 (*) 由韦达定理,(1),(2) 又F(1,0)且AF⊥BF,∴, 即 , 将,代入上式整理得 , 将式代入,解得 . 故直线l的倾斜角为或. 注:本题设交点坐标为参数,“设而不求 ,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解. 例9．设集合A={} (1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B, (2)当a∈B时,不等式x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围. 解:(1)令t=2x,则t>0且方程化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a, 则Δ=0 或即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}. (2)当a=1时,<x<3+, 当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当a≤0时不等式 恒成立, 即当a≤0时,g(a)>0恒成立,故 ≤4. 综上讨论,x的取值范围是(,4). 【查看更多】

     

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