题目列表(包括答案和解析)
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| x2+y2 |
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则z=3x-2y的最大值是（ ）
则z=3x-2y的最大值是（ ）
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| A、14 | B、16 | C、17 | D、19 |
一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得
，
，
，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为 
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，则b2=3，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为
的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是减函数；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=
的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k
时，
解得：
，∴ 
；
当
时，
这时
无解．
所以 k的取值范围是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）
参考答案
一．选择题：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空题：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答题：
17．由题设，得，，，双曲线为
， …… 2分
直线AB的方程为
，
……………………… 4分
代入到双曲线方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，则
，所以
为所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由题设可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的图像过点（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 当在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上递增,在(0,2)上递减,
因此在x=2处取得极小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
过P作MN∥B
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， ………… 6分
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
………… 14分
解法二：（建立空间坐标系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上为减函数，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是减函数；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函数，所以()不是闭函数．
………… 10分
(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a
，b]，则
故a ， b是方程=的两个实根，命题等价于
有两个不等实根．
………… 13分
当k时，解得：，∴ ；
当时，这时无解．
所以 k的取值范围是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本题证法较多，其它证明方法得分可参照以上评分标准分步给分）
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