如图，在Rt△ABC中，AC=2AB，∠BAC=90°，D是AC的中点，在Rt△DEA中，∠AED=90°，∠EAD=45°，连结BE、CE，试猜想BE和EC的关系，并证明你的猜想．
（1）猜想：

数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC

数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC

；
（2）证明：

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC

．

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=10，sin∠ADC=

4

5

，求AC的长和tanB的值；
（2）若AD=1，∠ADC=α，参考（1）的计算过程直接写出tan

α

2

的值（用sinα和cosα的值表示）．

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（2012•葫芦岛）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=

1

2

，点D在BC上，且BD=AD，求AC的长和cos∠ADC的值．

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课题研究
（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=

 

，所以CD=

 

，而S_△ABC=

1

2

AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S_△ABC=

 

．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
（2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得

1

2

AC•BC•sin(α+β)=

1

2

AC•CD•sinα+

1

2

BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
（3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大．

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根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
则AB+AD=

 

AC（用含α的三角函数表示）．

材料③：
已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．

编写试题选取的材料是

 

（填写材料的序号）
编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
（3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
（2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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一

1．C   2.B   3.C   4.C   5.A  6.D  7.C   8.B  9.B  10.B

二

11.3    12. 360°－36°?n       13.3.98cm     14.210cm,    15. 5   16.y= 2x＋2

三

17.∵(x+5)(x+7)=(x²+12x+35+1－1)=(x+6)²－1<(x+6)²

∴(x+5)(x+7)< (x+6)²

18.（1）图略                                        ……………………    3分

（2）12个单位                                        ………………   6分

19.解：连接DE,BF.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD.   ∠ODF=∠OBE                    …………   1分

∵EF垂直平分BD，

∴OD=OB

∴ΔDOF≌ΔBOE(ASA)                            ………    2分

∴DF=BE

∴四边形BFDE是平行四边形。

∵EF垂直平分BD,

FD=FB(线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)

∴平行四边形BFDE是菱形               ………    4分

∴DF=BF=DE=EB,OE=OF.

在RtΔDOF中，DF=+=250

∴S_菱形DEBF=BD?EF=DF?BC

∴Х400х300=250?BC

∴BC=240                           …………   5分

在RtΔBCF中 FC===70

∴CD=DF+FC=250+70=320

∴S_梯形ABCD=CD?BC=320×240=76800m^{2      ……………………..}    6分

答略                      ……………     7分

20.解：将圆柱有相对的A.B垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个矩形， ………   2分

如图所示，作BO⊥AO于O,则AO,BO分别平行于矩形的两边，作A点关于D点的对称点Aㄆ,连AㄆB,则ΔA`

BO为直角三角形，且BO==12,A`O=(15－3)+4=16, …………    4分

有勾股定理得    

A`B²=A´O²+BO²=16²+12²=400,

∴A´B=20                                  ………………  7分

故蜘蛛沿B外＿壁C内＿壁A路线爬行最近，

且它至少要走20cm                            ………    8分

21.因为0.1x+0.01x²,而12，所以0.1x+0.01x²=12，………………   2分

解之，得， 舍去，故＜40，

所以甲车未超速行驶。 ………………………………………………     4分

设=kx，把（60，15）代入，得 15=60k。解得，k=。

故=x.          ………………………………………………  6分

由题意知 10＜x＜12解之得：40＜x＜48.

所以乙车超速行驶。………………………………………………      8分

22.（1）∵a²=b²+c²－2bccosA=25+49－2?5?7?cos60º= 39

  ∴a=                                      ……………   2分

∵b²=a²+c²－2accosB. 

∴cosB==

∠B≈36º                                         ……………   3分

∴∠C=180º－60º－36º=84º                         ……………    4分

(2).由余弦定理得  72=82+92－2×8×9cosA

得 cosA=

∴∠A≈48º                                               ………… 6分

再得  82=92+72－2×9×7cosB

得 cosB=

∠B≈58º                                      ………………              7分

∴∠C=180º－∠A－∠B=74º                              ………           8分

23.(1).连接BE,可得ΔABE∽ΔADB.               ………………               2分

∴ AB²=AD?AE                               ………………                4分

(2).成立                                     ………………                5分

连接EB,可证ΔAEB∽ΔABD,                     ………………              7分

∴仍可得AB²=AD?AE                               ……………            8分

24.（1）y=60－(x－100)0.02x   (0＜x＜550)              ………………         4分

(2)根据题意可列方程为：6000=[60－（x－100）0.02]x－40x

整理可得：x²－3100x+300000=0            ……………….         6分

       (x－500)（x－600）=0                              …………   8分

      x₁=500     x₂=600(舍去)                      ………………      9分    

销售商订购500个时，该厂可获利润6000元。                ……….  10分   

25．（1）S_梯形OPFE=(OP+EF)?OE=(25+27)

设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y

则y=(28－3t+28－t)t=－2t²+28t=－2（t－7）²+98.         ………………  3分

所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；    ……………… 4分

（2）当S_梯形OPFE=S_ΔAPF时，

－2t²+28t=,解得t₁=8,t₂=0(舍去)。                       ……………  7分

当t=8秒时，FP=8                                  ………………   8分

（3） 由，                        ………………    10分

且∠OAB=∠OAB,                                     ………   11分

可证得ΔAF₁P₁∽ΔAF₂P₂                                            ……  12分