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    (三)教学过程 1．已知 两角.我们可以利用 的三角函数去计算复合角 的余弦.那么.我们能否用 的三角函数去表达复合角 的正弦呢?本节课将研究这一问题． 2．探索研究 (1)请一位同学在黑板上写出 . 的展开式． ． 由于公式中的 是任意实数.故我们对 实施特值代换后并不影响等号成立.为此我们曾令 .得到 . 两个熟悉的诱导公式.请同学们尝试一下.能否在 中对 选取特殊实数代换.使 诱变成 呢?或者说能否把 改成用余弦函数来表示呢?请同学回答． 生:可以.因为 该同学的思路非常科学.这样就把新问题 问题化归为老问题: ． 事实上: (视“ 为 ) 这样.我们便得到公式． 简化为 ． 由于公式中的 仍然是一切实数.请同学们再想一下.如何获得 的展开式呢?请同学回答． 生:只要在公式 中用 代替 .就可得到: 即 师:由此得到两个公式: 对于公式 还可以这样来推导: 说明: (1)上述四个公式 .虽然形式.结构不同.但它们本质是相同的.因为它们同出一脉: 这样我们只要牢固掌握“中心 公式 的由来及表达方式.就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想.一个数学方法来仔细加以体会． (2) . 是用 的单角函数表达复合角 的正.余弦．反之.我们不得不注意.作为公式的逆用.我们也可以用复合角 的三角函数来表达单角三角函数．诸如: . . 及 四种表达式.实质上是方程思想的体现: 由 得: ① 由 得 ② 由 .得: ③ 由 得: ④ 等式①.②.③.④在求值.证明恒等式中无疑作用是十分重大的． (2)例题分析 [例1] 不查表.求 . 的值． 解: 说明:我们也可以用 系统来做: [例2]已知. . . . 求. ． 分析:观察公式 和本题的条件.必须先算出 . 解:由 . 得 又由 . 得 ∴ [例3]不查表求值: (1) , (2) ． 解:(1) (2) 练习 (1) . .则 ． (2)在△ 中.若 .则△ 是 ． 参考答案: (1)∴ ∴ (2)由 . ∴ ∴ . 为钝角.即△ 是钝角三角形． [例4]求证: ． 分析:我们从角入手来分析.易见左边有复角右边全是单角.所以思路明确.就是要把复角变单角． 证明: 左边 右 ∴原式成立 如果我们本着逆用公式来看待本题.那么还可这样想: 由 令 . 则 ① 至于 我们可这样分析: ∵ 令 得 同理 ∴①可进一步改写为: ∴ --② 又∵ --③ 由②.③得 本题还可以从函数名称来分析.左边是正.余弦函数.右边是正切函数.故可考虑从右边入手用化弦法.请同学们自己把上面过程反过来.从右边推出左边． [例5]求证: 师:本题我们可以从角的形式来分析.左边是单角.右边是复角.如果从右边证左边则要把复角变单角,如果从左边证右边则须配一个角 .所以本题起码有两种证法． 证法1:右边 左边 ∴原式成立 师:另一种证法根据刚才的分析要配出角 .怎样配?大家仔细观察证法一就不难发现了． 证法2: 左边 右边 ∴原式成立 3．演练反馈 (1)化简 (2)已知 .则 的值 A．不确定.可在［0.1］内取值 B．不确定.可在［-1.1］中取值 C．确定.等于1 D．确定.等于1或-1 参考答案: (1)原式 (2)C 4．总结提炼 (1)利用“拆角 “凑角 变换是进行三角函数式求值.证明.化简的常用技巧.如: . . ．在三角形中. . 等变换技巧.同学们应十分熟悉． (2)本节课的例5.代表着一类重要题型.同学们要学习它的凑角方法.一般地 .其中 ． (3)在恒等式中.实施特值代换.是一类重要的数学方法--母函数法.这种方法在数学的其他学科中.均有用武之地.它反映的是特殊与一般的辨证统一关系． 【查看更多】

     

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