(三)教学过程 1．设置情境 请同学看教材第3页上的一段文字.它叙述的是一个生活中的实际问题: “如图1.是一块以点 为圆心的半圆形空地.要在这块空地上画出一个内接矩形 辟为绿地.使其一边 落在半圆的直径上.另两点 . 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径为 .如何选择关于点 对称的点 . 的位置.可以使矩形 的面积最大? 根据教材提示应用所学的倍角公式.同学们能尝试解答它吗? 2．探索研究 分析:要使矩形 的面积最大.就必须想办法把面积表示出来.不妨利用我们所学的三角知识.从角的方面进行考虑.设 .则 . .所以 可以用 表示． 解:设 则 ∵ ∴ 当 时. 即 . 这时 . 答:点 . 分别位于点 的左.右方 处时 取得最大值 ． 变式:把一段半径为 的圆木锯成横截面为矩形的木料.怎样锯法才能使横截面的面积最大? 生:根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大． 以上是倍角公式在实际生活中的运用.请同学们观察以下例题.并分析.思考后能否得出证明． 3．例题分析 [例1]求证: (1) ,(2) , (3) ． 思考.讨论． 我们知道公式 中 是任意的.所以我们可以用 来替换 .这样就得到 即 上面三式左边都是平方形式.当 的值已知. 角的终边所在象限已知时.就可以将右边开方.从而求得: 以上两式相除又得: 这三个式子称之为半角公式.“± 号的取舍得由 终边所在象限确定． [例2]求证: ． 分析:从例1引出例2. .右边是同一个三角函数.并且还要附上正负号.而所要证明的式子右边有两个三角函数.不带正负号．故我们不能利用上法.得另想办法． 师: ∴ 上式不含根号也不必考虑“± 号选取.通常用于化简或证明三角恒等式.同样可作半角公式运用． [例3]已知: .求 . . ． 解: 说明:①例1中两式使用频率极高.正.逆使用都非常普遍．习惯从左到右.常称“扩角降幂公式 .从右到左常谓“缩角升幂公式 . ②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式.倍半关系是相对的． 练习 1．已知: ( ). 求:(1) ,(2) ． 2．若 .求: 的值． 3．求: 的值． 参考答案: 解:1．∵ 两边平方得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 2．∵ ∴ 原式 (3) 另解:设 --------① --------② ①+②得 ----------③ ①-②得 --④ ③+④得 ∴ 4．总结提炼 (1)本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题.得出结论“在一个圆的所有内接矩形中.以内接正方形的面积为最大 .另外由倍角公式解答了例1.例2.从而推导出半角公式.公式“± 号的选取决定于 终边所在的象限.例2的应用也很广泛.大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式． (2)从半角公式可以看出.半角的正弦.余弦.正切公式都可以用单角的余弦来表示． (3)若给出的 是象限角.则可根据下表决定符号． 的终边 一 二 三 四 的终边 一或三 一或三 二或四 二或四 若给出的 是区间角.则先求 所在区间再确定符号． 若没有给出确定符号的条件.则应在根号前保留“± 号． 【
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