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    (五)板书设计 二倍角的正弦.余弦.正切 1．复述二倍角公式 2．由 . 推出半角公式 1．课本例 2．例1 3．例2 4．例3 练习 总结提炼 典型例题 例1．求 的值． 分析:逆用二倍角公式.或构造对偶式列方程求解． 解:解法一: . ∴ ． 解法二: 原式 ． 解法三:令 . ． 则 ． ∵ .∴ ． 从而有 ． 小结:对于本题.如若简单地从形式上看.为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子 ,或原式 后.简单地应用二倍角的余弦公式都将无益于问题的解决.反而会陷入思维的简单循环之中．因此.当我们面对一个较为陌生的问题时.应认真分析问题的特征.积极地进行联想化归.切实做到缜密稳妥地设计解题思路． (1)有些数学问题.可根据其本身特点.相应地构设与其相同“匹配 的另一整体.然后由其“相依而伴 的关系进行求解．如解法三.这种解题方法称为积式配对． 的同名弦函数的乘积通常可按解法一.二来求解． 例2．设 . .求 的值． 分析:观察问题的角度状况.从已知条件和被求式的角度差异来看.一方面应将条件中的角度变换为 . .另一方面应将被求式中的角度 . 变换为 . ．要实现上述想法只需将两已知条件相乘.将被求式利用升幂公式即可办到．解:两已知条件相乘.可得 . 化简为 . ∴ ． 小结:根据问题的具体特点.从变换已知条件和被求式的角度入手.进行双向变换实现角度的统一.然后利用代入法将已知条件代入被求式.从而达到求值的目的.这就是解答本题的脉络． 例3．已知 . ．求 的值． 分析:若对结论“切化弦 后再化简不难发现.只需求出 和 的值即可.注意到 .就可以发现求解的途径了． 解:∵ .∴ ． 又∵ .∴ . ∴ . ． 又∵ . ∴原式 ． 小结:(1)本题也可以由 得 .再将要求解的三角式化为用 表示的形式． (2)本题解法中巧妙地利用了“角的变换 .使求解过程不致于繁杂． (3)若不注意 的范围.就会导致由 求出 而不知取舍． 例4．设 . . ．求证: ． 分析:条件恒等式的证明.要注意观察条件和结论之间的差异．主要是看角.看函数的名称.次数．对于本题.从角的差异入手.将角变形为 . .从已知条件变形入手.可证得结论． 证明:由 .得. 整理.得 ． 为 . .将上式两边同除以 .得 ． 小结:证明条件恒等式.一般有两种方法.即推出法与代入法.无论使用哪一种思路都要盯住目标.据果变形．若用推出法.则应盯住欲证等式的左.右两边.根据它们的状况(一般要看角.函数名称.次数).采取恰当的措施来对条件等式进行变形.直到目标．若用代入法.就要盯住作为目标的被证等式的一边.根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形.先创造机会.然后代入条件.最终推出目标． 例5．如图.在某点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 .沿 方向前进30米至点 处测得顶端 的仰角为 .再继续前进 米至 点.测得顶端仰角为 .求 的大小和建筑物 的高． 分析:根据题意结合图形观察给出各数据间的关系.将题目数学化.抽象为纯数学问题． 解:由已知. 米. 米 在 △ 中. . 在 △ 中. ∴ .同理可得: 于是: 即 而 ∴ . ∴ 米 于是: .建筑物高为15米． 小结:这是一个三角函数在测量方面的应用问题.在解决过程中运用了几何知识和方程的思想.但三角式的化简起到了关键作用． 扩展资料 有趣的米勒问题 米勒.德国数学家.曾在莱比锡.维也纳学习天文学和三角学.1468年至1471年在维也纳大学任教授.1471年定居纽伦堡.从事天文学研究.米勒对三角学做出了贡献．大约在1461至1464年间.他写成书.书中给出了有关球面三角学的正弦定理.余弦定理.计算了三角函数表.相当精确．他的这些工作使三角学脱离文学而成为一门独立的学科．另外.米勒在研究几何时采用了代数方法.这在当时是别具一格的． 1471年.米勒向诺德尔教授提出以下十分有趣的问题: 在地球表面的什么部位.一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位.可见角为最大?) 在米勒的家乡哥尼斯堡.这个问题称为雷奇奥莫塔努斯的极大值问题．该问题本身并不难.然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目． 下面这个简明解法是罗斯给出的． 如图1.设 为杆的上端点. 为杆的下端点． 垂直于地平面.垂足记为 .于是线段长 . 均为已知.以 为中心在地球表面上画的圆上的所有对 的视角都相等．因此.我们只需过 任作一条垂直于 的直线 并在这条水平地沿着地球表面的线上找出这样的点 .使得在这点的可见角 最大． △ 的外接圆 必与 相切干 点．事实上.若 不与圆 相切.则除 点儿圆 与 还有另一个公共点 .而对于线段 的中点 而言. 是圆 的圆内角.这时. .这就与 是最大可见角矛盾． 设过 的圆 与直线 相切于点 .则 取得最大值．这是因为对 上异于 的任一点 而言. 是圆 的圆外角.所以 ． 点的位置可以这样来确定.根据切割线定理. .即有 ． 从而.我们得出结论:以是杆与地面垂直的垂足为圆心.以是杆两端到地面距离的乘积的算术根为半径.在地球表面上画圆.该圆周上的点对悬杆的视角为最大． 1986年全国高考数学试题理科第五大题其实就是“米勒问题 : 如图2.在平面直角坐标系中.在 轴的正半轴上给定两点 . ．试在 轴的正半轴上求点 .使 取得最大值． 下面.我们运用高中数学知识结出这道高考题的一种简洁解法． 解 如图3.设点 的坐标为 .点 的坐标为 . . 的坐标为 . .并记 . . .则 .且 ． 所以 ． 因此.当 .即 时. 取得最大值 ． 因为在 内 是增函数.所以当 时. 取得最大值 ．故所求的 点坐标为 ． 更一般的“米勒问题 是: 在已知直线 的同侧有 . 两点.试在 上求一点 .使 最大． 将此问题特殊化.便可得到1984年西安市中学生数学竞赛试题: 在直线 上求点 .使 对线段 有最大视角.证明你的结论． (原载2000年第22期.宋庆文) 习题精选 【查看更多】

     

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