(三)教学过程 1．设置情境 自然界里存在着许多周而复始的现象.如地球的自转和公转.物理学中的单摆运动和弹簧振动.圆周运动等．数学里从正弦函数.余弦函数的定义可知.角 的终边每转一周又会与原来的位置重合.故 . 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律.今天.我们来学习一个新的数学概念--函数的周期性 2．探索研究 (1)周期函数的定义 引导学生观察下列图表及正弦曲线 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时.函数值就重复出现． 联想诱导公式 .若令 则 .由这个例子.我们可以归纳出周期函数的定义: 对于函数 .如果存在一个非零常数 .使得当 取定义域内的每一个值时.都有 .那么函数 叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期． 如 . .-及 . -都是正弦函数的周期． 注意:周期函数定义中 有两点须重视.一是 是常数且不为零,二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立． 师:请同学们思考下列问题:①对于函数 . 有 能否说 是正弦函数 的周期． 生:不能说 是正弦函数 的周期.这个等式虽成立.但不是对定义域的每一个值都使等式 成立.所以不符合周期函数的定义． ② 是周期函数吗?为什么 生:若是周期函数.则有非零常数 .使 .即 .化简得 .∴ .或 .故满足非零常数 不存在.因而 不是周期函数． 思考题:若 为 的周期.则对于非零整数 . 也是 的周期． (2)最小正周期的定义 师:我们知道-. . . . -都是正弦函数的周期.可以证明 ( 且 )是 的周期.其中 是 的最小正周期． 一般地.对于一个周期函数 .如果在它所有的周期中存在一个最小的正数.那么这个最小正数就叫做 的最小正周期． 今后若涉及的周期.如果不加特别说明.一般都是指函数的最小正周期． 依据定义. 和 的最小正周期为 ． (3)例题分析 [例1]求下列函数的周期: (1) . , (2) . , (3) . ． 分析:由周期函数的定义.即找非零常数 .使 ． 解:(1)因为余弦函数的周期是 .所以自变量 只要并且至少要增加到 .余弦函数的值才能重复取得.函数 . 的值也才能重复取得.从而函数 . 的周期是 ． 即 .∴ (2)令 .那么 必须并且只需 .且函数 . 的周期是 .就是说.变量 只要并且至少要增加到 .函数 . 的值才能重复取得.而 所以自变量 只要并且至少要增加到 .函数值就能重复取得.从而函数 . 的周期是 ． 即 ∴ (3)令 .那么 必须并且只需 .且函数 . 的周期是 .由于 .所以自变量 只要并且至少要增加到 .函数值才能重复取得.即 是能使等式 成立的最小正数.从而函数 . 的周期是 ． 而 ∴ 师:从上例可以看出.这些函数的周期仅与自变量 的系数有关.其规律如何?你能否求出函数 . 及函数 . (其中 . . 为常数.且 . )的周期? 生: ∴ ． 同理可求得 的周期 ． [例2]求证: (1) 的周期为 , (2) 的周期为 , (3) 的周期为 ． 分析:依据周期函数定义 证明． 证明:(1) ∴ 的周期为 ． (2) ∴ 的周期为 ． (3) ∴ 的周期为 ． 3．演练反馈 (1)函数 的最小正周期为 A． B． C． D． (2) 的周期是 (3)求 的最小正周期． 参考答案: ∴ (3)欲求 的周期.一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式.然后用公式 求最小正周期.而化得的一般思路是“多个化一个.高次化一次 .将所给函数化成单角单函数． 由 4．总结提炼 (1)三角函数所特有的性质是周期性.周期与最小正周期是不同概念.研究三角函数的周期时.如未特别声明.一般是指它的最小正周期． (2)设 . ．若 为 的周期.则必有:① 为无限集.② ,③ 在 上恒成立． (3)只有 或 型的三角函数周期才可用公式 .不具有此形式.不能套用．如 .就不能说它的周期为 ． 【
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