(四)板书设计 课题 1．周期函数定义 两点注意: 思考问题① ② 2．最小正周期定义 例1 例2 的周期 的周期 练习反馈 总结提炼 思考题:设 是定义在 上的以2为周期的周期函数.且是偶函数.当 时. .求 上的表达式 参考答案: 典型例题 例1．求函数 的定义域． 分析:要求 .即 .因为正弦函数具有周期性.所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间.然后两边加 ． 解:由题意 . 即 ． 在一周期 上符合条件的角为 . ∴定义域为 ． 小结:解题时注意结合正弦曲线.而由于正弦函数的周期性.只需先在一个周期上求范围.这个周期的长度为 .并非一定取 .而应该是否得到一个完整区间为标准.如本题若在 上求范围则分为两段 和 .不如在 上是完整的一段． 例2．求函数 的定义域. 分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数.它是由三角函数.二次函数.对数函数复合而成.求定义域时.应分清脉络.逐一分析.综合得出结论. 解:欲求函数定义域.则由 即 也即 解得 取 .0.1.可分别得到 或 或 . 即所求的定义域为 . 小结:在解本题时.容易出现的失误是.由 .得 或 ,或在解不等式组 时出现错误.如得出函数的定义域为 或 等. 解类似本例的问题.其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解.而求公共解.如能借助于图形.由数形结合.往往可以事半功倍.具体方法一般可借助于数轴.单位圆或三角函数的图像来完成.如图甲.乙所示. 例3．求下列函数的值域: (1) , (2) , (3) , (4) ． 分析:(1)先利用降幂公式.将其化为一个角的一个三角函数式.再根据三角函数性质求其值域,(2)可利用降幂公式.倍角公式.差角公式.化为一个角的一个三角函数其值域,(3)利用配方法.并结合二次函数.正弦函数的性质求解,(4)从反函数观点出发.借助于余弦函数的有界性求解． 解:(1) ． ∵ .∴ ． 将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式.然后利用三角函数的性质求值域． (2) ∵ . ∴ ． 利用了降幂公式和倍角公式.将其化为一个角的一个三角函数的形式． (3) ． 将其看做关于 的二次函数.注意到 . ∴当 时. ． 当 时. . ∴ ． 本题结合了二次函数求极值.但应注意 的取值范围． (4)由原式得 ． ∵ .∴ ． ∴ 或 ． 值域为 ． 小结: 配方法.化一法.逆求法.有界性法等.是求三角函数值域常用的几种方法．相信你会从此题的求解过程中.领悟到这一点． 例4．求函数 的单调减区间． 分析:容易想到将函数转化为 .换元令 .进而转化为 ． 解: ． 令 .则 ． 由正弦函数的单调性.知 当 ( )时.函数递减. 即 ( ). ∴ ( )． ∴函数的单调减区间是 ( )． 小结:本题通过换元.将函数 化为 .充分体现了转化的数学思想． 例5．作函数 的图像. 分析:首先将函数的解析式变形.化为最简形式.然后作函数的图像. 解:当 .即 时.有 .即 .其图像如图. 小结:函数 的图像即是 的图像.因此作出 的图像后.要把 的这些点去掉. 例6．已知 .(a.b为常数).且 .求 . 分析:要求函数值.需知函数解析式.因含a.b两个参数.一个条件 难确定.深入分析 与 的内在联系.应向函数奇偶性联想.注意到 为奇函数.问题自可获解. 解:因为 .所以 为奇函数.所以 . 所以 . 小结:(1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 的应用. (2)函数奇偶性的确定.可使研究问题的条件增加.从而使问题难度变小.尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题.可考虑奇偶性的应用. 扩展资料 一剪刀剪出一条正弦曲线 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上.卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断.再把卷着的纸展开.你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线． 你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!下面就来证明这一事实． 如图1.设纸筒底面半径为1单位长.截面与底面所成的二面角为 .截口的中心为 ． 过 作圆柱的直截面.交截口曲线于两点．取其中一点为 .在过点 且与圆柱侧面相切的平面内.以点 为坐标原点建立直角坐标系.使得 轴是圆柱的一条母线． 设点 是截口曲线上任意一点.点 是点 在⊙ 所在平面内的射影.过 作 .垂足为 .连接 .则 是截面与底面所成二面角的平面角.所以. .又设 ． 在图2中.设 点坐标为 .以下分别计算 点的横坐标和纵坐标． . . ① 而在 △ 中. .所以 nbsp; ② 将①代入②.且令 .则有 这就证明了截口曲线是一条正弦曲线． (原载2000年第10期 王方汉 文) 探究活动 试问方程 是否有实数解?若有.请求出实数解的个数,若没有.请说明理由． 分析:可借助函数 和 的图像.通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解．如有交点.可通过讨论交点数来获得实数解的个数． 解:设 .因为 .且 的定义域为R.所以 是奇函数.且 .所以 是 =0的一个解.于是 =0的实数解存在且除 外是成对出现的．在 上研究 和 图像交点的情况 因为 .且 是增函数.而 .所以当x≥100时.方程 =0无解． 又 .从图像中可得知直线 与曲线 在 中从0开始每相隔 会有两个交点.所以.当x≥0时共有32个交点.则当x>0时有31 个交点． 故原方程有31×2+1=63个解． 习题精选 【
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