(四)板书设计 课题 1．如何由 的图像 作 的图像 例1 2．如何由 的图像 作 的图像 例2 变换法作 的图像的流程图 演练反馈 总结提炼 典型例题 例1．(l)利用“五点法 作函数 的图象.并指出这个函数的振幅.周期和初相． (2)怎样由 的图象得到 的图象? 解:(1)列表: 0 2 0 2 0 -2 0 描点:( .0).( .2).( .0).( .-2).( .0). 用光滑的曲线将它们连结起来.就得到函数 在一个周期内的简图(图1)．把这个简图利用函数的周期性向左.右扩展.就得到函数 的简图． 振幅 .周期 .初相 (2)解法一 ①把函数 的图象上所有点向右平移 个单位.得到函数 的图象,②把函数 图象上所有点的根坐标缩短到原来的 .得到函数 的图象,③把函数 图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍.就得到函数 的图象见图1． 解法二 ①把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 .得到函数 的图象,②把函数 图象上所有的点向右平移 个单位.得到函数 的图象,③把函数 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍.就得到函数 的图象见图1． 例2．已知函数 在一个周期内的简图.求其相应的函数表达式.并说明它是 经过怎样变换得到的. 分析:应求出A. . .观察图像易知振幅 .周期 .从而求得 .对于 .只需将点 代入解析式即可通过解方程获得.得知函数表达式则图像变换易知. 解:因为 .所以 .又易知 .所以 .将点 代入上式得 .即 .由 得 .所以 . 它的图像可由 的图像作如下变换得到: 小结:利用图像特征确定函数解析式 或根据代数条件确定解析式时.要注意以下几种常用方法: (1)振幅 ． (2)相邻两个最值对应的横坐标之差.或者一个单调区间的长度为 .由此推出 值． (3)确定 值.一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定． 例3． 函数 .当它表示一个振动量时.求出它的振幅.周期.频率.相位.初相． 解:振幅 .周期 .频率 .相位是 .初相是 . 例4． 单摆从某点开始来回摆动.离开平衡位置的距离 和时间 (秒)的函数关系为 (l)作出它的图像, (2)单摆开始摆动( )时.离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆动到最右边时.离开平衡位置多少厘米? (4)单摆来回摆动一次需多少时间? 解:(l)找出曲线上的五个特殊点.列表如下: - - - 0 2 - - 0 6 0 -6 0 - 用光滑曲线连接这些点.得函数 的图像 (2)当 时. .即单摆开始摆动时.离开平衡位置3 . (3) 的振幅为6.所以单摆摆动到最右边时.离开平衡位置6 . (4) 的周期 .所以单摆来回摆动一次需要的时间为1 . 评注:在作图时.如无特殊声明.一般用五点法作图较简便 例5．函数 的横坐标伸长到原来的两倍.再向左平移 个单位.所得到的曲线是 的图像.试求函数 的解析式． 分析:这个问题有两种解法.一是考虑以上变换的“逆变换 .即将以上变换倒过来.由 变换到 ,二是代换法.即设 .然后按题设中的变换分两步得: .它就是 .即可求得 . . 的值． 解:解法一:问题即是将 的图像先向右平移 个单位.得到 ,再将横坐标压缩到原来的 .得 .即 ．这就是所求函数 的解析式． 解法二:设 .将它的横坐标伸长到原来的两倍得到 ,再将其图像向左平移 个单位.得 ． ∴ 解之得: ∴ .即 ． 小结:以上两种解法各有“千秋 .均为求解类似问题的好方法.注意熟练掌握． 例6．已知函数 ( . . )的图像的一个最高点为(2. ).由这个最高点到相邻最低点.图像与 轴交于(6.0)点.试求这个函数的解析式． 解 ∵最高点为(2. ). ∴ .由题意知从最高点到相邻最低点时交 轴于(6.0). ∴ .即 ． ∴ ． ∴ 代入最高点坐标. . ∴ . ∴ ． ∴函数解析式为 扩展资料 音乐的数学 乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方.在乐谱中.我们可以找到拍号.每个小节的拍子.全音符.二分音符.四分音符.八分音符等等.谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数.这相似于找公分母的过程--在一个固定的拍子里.不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍.然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起.对一部完整的作品进行分析.我们会看到每一个音节都有规定的拍数.而且运用了各种合适长度的音符. 除了上述数学与乐谱的明显联系外.音乐还与比例.指数曲线.周期函数以及计算机科学等相关联.毕达格拉斯的追随者们最先用比例把音乐和数学结合起来.他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系.拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度.他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出.事实上被拨动弦的每一种和谐的结合.都能表示为整数比.由增大成整数比的弦的长度.能够产生全部的音阶.例如.从一根产生音C的弦开始.接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出D,C的1/2给出低音C. 你可能感到惊奇.为什么平台钢琴有它特有的形状?实际上很多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着.指数函数就是其一.例如y=2x.乐器.无论是弦乐还是管乐.在他们的结构中都反映出指数曲线的形状. 对乐声本质的研究.在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰.他证明了所有的乐声--不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述.它们是一些简单的正弦周期函数的和.每种声音都有三种品质:音调.音量和音色.并以此与其他的乐声相区别. 傅立叶的发现.使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分.音调与曲线的频率有关.音量与曲线的振幅有关.音色则与周期函数的形状有关. 很少有人既通晓数学又通晓音乐.这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功.数学的发现:周期函数.是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓.许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图像.与这些乐器理想声音的图像相比较然后加以改进的.电子音乐的忠实再生也是跟周期图像紧密联系着的.音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面.继续担任着同等重要的角色. 探究活动 是否存在满足 的实数 . .使 的值是不随 变化的常数． 解:整理得: . 为常数的从要条件是: 解得 . ． 所以在 的实数 . 存在． 习题精选 【
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