(三)教学过程 1．设置情境 正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数.它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.为了更好研究其性质.我们首先讨论 的作图． 2．探索研究 师:请同学们回忆一下.我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的． 生:在单位圆上取终边为 的角.作出其正弦线 .设 .在直角坐标系下作点 .则点 即为 图像上一点． 师:这位同学讲得非常好.本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像． (1)用正切线作正切函数图像 师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数? 生:∵ ∴ 是周期函数. 是它的一个周期． 师:对.我们还可以证明. 是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法.我们先作正切函数在一个周期上的图像.下面我们利用正切线画出函数 . 的图像． 作法如下:①作直角坐标系.并在直角坐标系 轴左侧作单位圆． ②把单位圆右半圆分成8等份.分别在单位圆中作出正切线． ③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份)． ④找纵坐标.正切线平移． ⑤连线． 图1 根据正切函数的周期性.我们可以把上述图像向左.右扩展.得到正切函数 . 且 ( )的图像.并把它叫做正切曲线． 图2 (2)正切函数的性质 请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域.值域.周期性.奇偶性和单调性． ①定义域: ②值域 由正切曲线可以看出.当 小于 ( )且无限亲近于 时. 无限增大.即可以比任意给定的正数大.我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大),当 大于 且无限接近于 . 无限减小.即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大.我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大)．这就是说. 可以取任何实数值.但没有最大值.最小值． 因此.正切函数的值域是实数集 ． ③周期性 正切函数是周期函数.周期是 ． ④奇偶性 ∵ .∴正切函数是奇函数.正切曲线关于原点 对称． ⑤单调性 由正切曲线图像可知:正切函数在开区间( . ). 内都是增函数． (3)例题分析 [例1]求函数 的定义域． 解:令 .那么函数 的定义域是 由 .可得 所以函数 的定义域是 [例2]不通过求值.比较下列各组中两个正切函数值的大小: (1) 与 , (2) 与 ． 解:(1)∵ 又 ∵ .在 上是增函数 ∴ (2)∵ 又 ∵ .函数 . 是增函数. ∴ 即 ． 说明:比较两个正切型实数的大小.关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内.利用 的单调递增性来解决． 3．演练反馈 (1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是 A． B． C． D．与 值有关 (2) 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合 ① ② 参考答案: (1)C．注: 与 相邻两点之间距离即为周期长 (2)D．注:由 .但 .反之 .但 (3)① ② 4．总结提炼 (1) 的作图是利用平移正切线得到的.当我们获得 上图像后.再利用周期性把该段图像向左右延伸.平移. (2) 性质． 定义域 值域 周期 奇偶性 单调增区间 对称中心 渐近线方程 奇函数 . 【
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