函数的奇偶性 教师从刚才的图象中选出 ,用计算机打出,指出这是关于 轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律? 学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的) 从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整. (1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数. (给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识) 提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究) 学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义. (2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数. (由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识) 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1) ; (2) ; (3) ; ; (5) ; (6) . (要求学生口答,选出1-2个题说过程) 解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数. (3) , 是偶函数. 前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢? 学生经过思考可以解决问题.指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要) 从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性. 教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件? 可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论. (3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件. 由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明. 经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗? 例2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: . 证明: 既是奇函数也是偶函数, = ,且 , = . ,即 . 证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类 (4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: 例3. 判断下列函数的奇偶性 (1) ; (2) ; (3) . 由学生回答,不完整之处教师补充. 解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数. (2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数. (3) 当 时, 于是 , 当 时, ,于是 = , 综上 是奇函数. 教师小结 注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可. 【
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