空间几何中的向量方法 例13. 如下图.直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中.CA=CB=1.∠BCA=90°.棱AA1=2.M.N分别是A1B1.A1A的中点. (1)求BN的长, (2)求异面直线BA与1CB1的余弦值, (3)求证:A1B⊥C1M. [解法]:∵AC⊥BC,CC1⊥面ABC. ∴可以建立如图所示的坐标系 (1)依题意得B.N. ∴||==. (2)A1.B.C.B1. ∴=.=.·=3.||=.||=. ∴cos〈.〉==. 所以.异面直线BA与1CB1的余弦值为 (3)证明:C1.M(..2). =.=(..0).∴·=0.∴A1B⊥C1M. [点评]底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件.可以用两点间的距离公式.数量积的夹角公式.用坐标法求点点距.向量夹角特别注意异面直线角的范围(0,],而向量角的范围为[0,π] [变式与拓展]在三棱锥S-ABC中.∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°.AC=2.BC=.SB=. (1)求证:SC⊥BC, (2)求SC与AB所成角的余弦值. [解法一]:如下图.取A为原点.AB.AS分别为y.z轴建立空间直角坐标系.则有AC=2.BC=.SB=.得B(0..0).S(0.0.2).C(2..0). =(2..-2).=(-2..0). (1)∵·=0.∴SC⊥BC. (2)设SC与AB所成的角为α.∵=(0..0).·=4.||| |=4.∴cosα=.即为所求. [解法二]:(1)∵SA⊥面ABC.AC⊥BC.AC是斜线SC在平面ABC内的射影.∴SC⊥BC. (2)如下图.过点C作CD∥AB.过点A作AD∥BC交CD于点D.连结SD.SC.则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形.CD=.SA=2.SD===5.∴在△SDC中.由余弦定理得cos∠SCD=.即为所求. 例14.如图.在四棱锥中.底面ABCD是正方形.侧棱底面ABCD. .E是PC的中点.作交PB于点F. (1)证明 平面, (2)证明平面EFD, (3)求二面角的大小． [解法]:如图所示建立空间直角坐标系.D为坐标原点.设 ⑴证明:连结AC.AC交BD于G.连结EG. 依题意得 底面ABCD是正方形. 是此正方形的中心. 故点G的坐标为且 . 这表明. 而平面EDB且平面EDB.平面EDB. ⑵证明:依题意得.又 故 , 由已知.且所以平面EFD. (3)解:设点F的坐标为则 从而所以 由条件知.即 解得 点F的坐标为 且 ,即. 故是二面角的平面角. ∵且 , 所以.二面角C-PC-D的大小为 [点评]考查空间向量数量积及其坐标表示.运用向量数量积判断向量的共线与垂直.用向量证明线线.线面.面面的垂直与平行关系. [变式与拓展]如图.已知矩形ABCD所在平面外一点P.PA⊥平面ABCD. E.F分别是AB. PC的中点． (1)求证:EF∥平面PAD, (2)求证:EF⊥CD, (3)若ÐPDA＝45°.求EF与平面ABCD所成的角． 证明:如图.建立空间直角坐标系A-xyz. 设AB＝2a.BC＝2b.PA＝2c.则:A. B(2a, 0, 0).C(2a, 2b, 0).D(0, 2b, 0). P(0, 0, 2c)∵ E为AB的中点.F为PC的中点 ∴ E (a, 0, 0).F (a, b, c) (1)∵＝(0, b, c).＝(0, 0, 2c).＝(0, 2b, 0) ∴＝(+) ∴与.共面 又∵ E Ï 平面PAD ∴ EF∥平面PAD． (2)∵ ＝(-2a, 0, 0 ) ∴·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． (3)若ÐPDA＝45°.则有2b＝2c.即 b＝c.∴ ＝(0, b, b). ＝(0, 0, 2b) ∴ cos á.ñ＝＝ ∴ á.ñ＝ 45° ∵ ⊥平面AC.∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为:90°-á.ñ＝ 45°． 例15.如图.在正四棱柱中.已知..分别为.上的点.且 (Ⅰ)求证:平面, (Ⅱ)求点到平面的距离. 解:(Ⅰ)以为原点.以..的正向分别为轴.轴. 轴建立空间直角坐标系.则 于是 且 平面 知.为平面的一个法向量. 向量在上的射影长即为到平面的距离.设为.于是 故点到平面的距离为 例16.如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.侧棱PA⊥底面ABCD.AB=.BC=1.PA=2.E为PD的中点． (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值, (Ⅱ)在侧面PAB内找一点N.使NE⊥面PAC. 并求出N点到AB和AP的距离． 解:方法一.(1)设AC∩BD=O.连OE.则OE//PB. ∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中.AO=1.OE= ∴ 即AC与PB所成角的余弦值为. (2)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F.则. 连PF.则在Rt△ADF中 设N为PF的中点.连NE.则NE//DF. ∵DF⊥AC.DF⊥PA.∴DF⊥面PAC.从而NE⊥面PAC. ∴N点到AB的距离.N点到AP的距离 方法二.(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系. 则A.B.C.D.P.E的坐标为A. B(.0.0).C(.1.0).D. P.E(0..1). 从而 设的夹角为θ.则 ∴AC与PB所成角的余弦值为. (Ⅱ)由于N点在侧面PAB内.故可设N点坐标为(x.O.z).则.由NE⊥面PAC可得. ∴ 即N点的坐标为.从而N点到AB.AP的距离分别为1.. 【
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