题目列表(包括答案和解析)
如图,二次函数(
)的图象与
轴交于点A,与
轴交于点B、C,过A点作
轴的平行线交抛物线于另一点D,线段OC上有一动点P,连结DP,作PE⊥DP,交y轴于点E.
(1)当变化时,线段AD的长是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出AD的长;
(2)若为定值,设
,OE=
,试求
关于
的函数关系式;
(3)若在线段OC上存在不同的两点P1、P2使相应的点、
都与点A重合,试求a的取值范围.
如图,二次函数y=-ax2+
ax+a(a>0)的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B、C,过A点作x轴的平行线交抛物线于另一点D,线段OC上有一动点P,连结DP,作PE⊥DP,交y轴于点E.
(1)当a变化时,线段AD的长是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出AD的长.
(2)若a为定值,设OP=x,OE=y,试求y关于x的函数关系式.
(3)若在线段OC上存在不同的两点P1、P2使相应的点E1、E2都与点A重合,试求a的取值范围.
解:(1)点C的坐标为.
∵ 点A、B的坐标分别为,
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式,得
.
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
(2)可得抛物线的对称轴为
,顶点D的坐标为
,设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为.
设点P的坐标为.
解法一:如图8,作OP∥AD交直线BC于点P,
连结AP,作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD,
∴ ∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD.
∴ ,即
.
解得. 经检验
是原方程的解.
此时点P的坐标为.
但此时,OM<GA.
∵
∴ OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
解法二:如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于
点N. 则∠PEO=∠DEA,PE=DE.
可得△PEN≌△DEG .
由,可得E点的坐标为
.
NE=EG=, ON=OE-NE=
,NP=DG=
.
∴ 点P的坐标为.∵ x=
时,
,
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .
(3)的取值范围是
.
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