如图，二次函数（）的图象与轴交于点A，与轴交于点B、C，过A点作轴的平行线交抛物线于另一点D，线段OC上有一动点P，连结DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．

（1）当变化时，线段AD的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出AD的长；

（2）若为定值，设，OE=，试求关于的函数关系式；

（3）若在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂使相应的点、都与点A重合，试求a的取值范围．

解：（1）点C的坐标为.

∵ 点A、B的坐标分别为，

            ∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.   

            将代入抛物线的解析式，得.

            ∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.

（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为   

，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.

直线BC的解析式为.

设点P的坐标为.

解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，

连结AP，作PM⊥x轴于点M.

∵ OP∥AD，

∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

  ∴ ，即.

  解得.  经检验是原方程的解.

  此时点P的坐标为.

但此时，OM＜GA.

  ∵

      ∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，

      ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

            解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于

点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG ．

由，可得E点的坐标为.

NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴ 点P的坐标为.∵ x=时，，

∴ 点P不在直线BC上.

                   ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .

（3）的取值范围是.