证明 例6设a.b.c为正实数.求证:． 证明:因为为正实数.由平均不等式可得 即 所以. 而 所以 4反证法 反证法是属于“间接证明法 一类.是从反面的角度思考问题的证明方法.即:肯定题设而否定结论.从而导出矛盾推理而得.反证法就是从否定命题的结论入手.并把对命题结论的否定作为推理的已知条件.进行正确的逻辑推理.使之得到与已知条件.已知公理.定理.法则或者已经证明为正确的命题等相矛.矛盾的原因是假设不成立.所以肯定了命题的结论.从而使命题获得了证明. 例7已知..求证:不能同时大于. 证法一:假设三式同时大于.即.. .三式同向相乘得.又同理. .这与假设矛盾.故原命题得证. 证法二:假设三式同时大于.. 同理 三式相加得.这是矛盾的.故假设错误.所以原命题正确 点评:“不能同时大于 包含多种情形.不易直接证明.可用反证法证明.即正难则反 (1)当遇到否定性.唯一性.无限性.至多.至少.等类型问题时.常用反证法. (2)用反证法的步骤是:①否定结论②而不合理 ③因此结论不能否定.结论成立. 5数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法.在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法.论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立.这是递推的基础,第二步是假设在n＝k时命题成立.再证明n＝k+1时命题也成立.这是无限递推下去的理论依据.它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般.实际上它使命题的正确性突破了有限.达到无限.这两个步骤密切相关.缺一不可.完成了这两步.就可以断定“对任何自然数(或n≥n 且n∈N)结论都正确 .由这两步可以看出.数学归纳法是由递推实现归纳的.属于完全归纳. 运用数学归纳法证明问题时.关键是n＝k+1时命题成立的推证.此步证明要具有目标意识.注意与最终要达到的解题目标进行分析比较.以此确定和调控解题的方向.使差异逐步减小.最终实现目标完成解题. 运用数学归纳法.可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式.代数不等式.三角不等式.数列问题.几何问题.整除性问题等等. 例8设是定义在正整数集上的函数.且满足:“当成立时.总可推出成立 ． 那么.下列命题总成立的是( D ) A．若成立.则成立 B．若成立.则成立 C．若成立.则当时.均有成立 D．若成立.则当时.均有成立 [答案]D [解析] 对A.当k=1或2时.不一定有成立,对B.应有成立, 对C.只能得出:对于任意的.均有成立.不能得出:任意的.均有成立,对D.对于任意的.均有成立.故选D. 例9设数列满足为实数 证明:对任意成立的充分必要条件是, 证明(1) 必要性 : . 又 .即 充分性 :设 .对用数学归纳法证明 当时..假设 则.且 .由数学归纳法知对所有成立 【
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