已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E．
（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1）AM=AC且AD=a，求的AE长（用含a的代数式表示）；
（2）在（1）中，直线l把矩形分成两部分的面积比为2：5，求a的值；
（3）若AM=AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；
（4）如果直线l分别与边AD，AB相交于点E，F，AM=AC，设AD的长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围（求x的取值范围可不写过程）．

图②

方法二：如图②,延长BC、AE相交于点P     

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB                                               …………………………1分

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB                                               …………………………2分

∴∠APB＝∠PAB

∴AB＝BP                                                                   ………………………3分

∵BF平分∠ABP

∴:AP⊥BF

即AE⊥BF．                                                            ………………………4分

(2)方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE     ………………5分

∵在□ABCD中，CD∥AB

∴∠DEA＝∠EAB

又∵AE平分∠DAB

∴∠DAE＝∠EAB

∴∠DEA＝∠DAE

∴DE＝AD                                         ………………………6分

同理可得，CF＝BC                               ………………………7分

又∵在□ABCD中，AD＝BC

∴DE＝CF

∴DE－EF＝CF－EF

即DF＝CE．                                         ………………………8分

方法二：如右图,延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O       …5分

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB                                                   

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB                                                  

∴∠APB＝∠PAB

∴BP＝AB

同理可得，AO＝AB                 

    ∴AO＝BP                                   ………………………6分

        ∵在□ABCD中，AD＝BC

        ∴OD＝PC

 又∵在□ABCD中，DC∥AB

       ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分

       ∴＝，＝

       ∴DF＝CE．                                                                     ………………………8分

6.　（1）（2）略　　　（3）设BC=x，则DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x

GD²=GE?GB=4－2      DC²+CF²=(2GD)² 　　即　x²+（－1）²x²＝4（4－2）

（4－2）x²＝4（4－2）  　　x²＝4　　　正方形ABCD的面积是4个平方单位

7．（本小题满分5分）

证明：∵  AB∥CD

∴                …………1分

∵ 

∴  △ABO≌△CDO                 …………3分

∴                      …………4分

∴  四边形ABCD是平行四边形       …………5分

11．证明：（1）①在和中，

，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

②，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，

12．（本题7分）

解：（1）在梯形中，，

，，

，

．

，

，

．

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

，，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

与的函数表达式是

；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（2）

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

当时，有最大值，最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

13．证明：菱形中，．???????????????????? 1分

分别是的中点，

．?????????????????? 3分

又，．????????????????? 5分

．??????????????????????????????? 7分

14.

15．证明：四边形是平行四边形，，．

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

17．解：（1）正方形中，，．

又，因此，即菱形的边长为．

在和中，，

，，

．．

，，

，即菱形是正方形．

同理可以证明．

因此，即点在边上，同时可得，

从而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（2）作，为垂足，连结，

，，

，．

．

在和中，，，

．

，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2．

因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（3）若，由，得，此时，在中，．

相应地，在中，，即点已经不在边上．

故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，

当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为．

此时，，故．

而函数的值随着的增大而减小，

因此，当时，取得最小值为．

又因为，所以，的面积不可能等于1．????????????????????? 9分

18.

19．证明：在等腰中，，．

　　　　　，，．又，

　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

　　　　　．．

　　　　　．．．?????????????????? 5分

　　　　　又不平行，四边形是梯形．??????????????????????????????????? 7分

　　　　　四边形是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

20．解：（1）在矩形中，，，

．……………………1分

　　　　，．

　　　　，即，