如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的长；
（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面积和的取值范围．

20090508

（2）设，则，

    由正弦定理：,

       所以两个正三角形的面积和，…………8分

              ……………10分

       ，，

       所以：……………………………………12分

18．解：（1）；………………………4分

       （2）消费总额为1500元的概率是：………………………5分

消费总额为1400元的概率是：………6分

消费总额为1300元的概率是：

＝，

所以消费总额大于或等于1300元的概率是；……………………8分

（3），

，

＝

所以的分布列为：

0

1

2

3

0．294

0．448

0．222

0．036

………………………………………………11分

       数学期望是：。…………12分

19．（1）证明：因为，所以平面，

又因为，平面，

平面平面；…………………4分

（2）因为，所以平面，

所以点到平面的距离等于点E到平面的距离，

过点E作EF垂直CD且交于点F，因为平面平面，

所以平面，

所以的长为所求，………………………………………………………6分

因为，所以为二面角的平面角，，＝1，

点到平面的距离等于1；…………………………8分

       （3）连接，由平面，，得到，

       所以是二面角的平面角，

       ，…………………………………………………11分

       又因为平面平面，二面角的大小是。……12分

20．解：（1）设等差数列的公差为，依题意得：

       ，

       解得，所以，…………………3分

       所以，

       ，

       所以；…………………………………………………………………6分

       （2），因为，

       所以数列是递增数列，…8分

       当且仅当时，取得最小值，则：，

       所以，即的取值范围是。………………12分

21．解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，

因为，所以，

得到：，注意到不共线，

所以轨迹方程为；……………5分

（2）设点是轨迹C上的任意一点，则以为直径的圆的圆心为，

假设满足条件的直线存在，设其方程为，直线被圆截得的弦为，

则

……………………………………………………7分

弦长为定值，则，即，

此时……………………………………………………9分

所以当时，存在直线，截得的弦长为，

   当时，不存在满足条件的直线。……………………………………………12分

22．解：（1）设，因为是 上的增函数，且，所以是上的增函数，

所以，得到；所以的取值范围为………4分

（2）由条件得到，

猜测最大整数，……6分

现在证明对任意恒成立，

等价于，

设，

当时，，当时，，

所以对任意的都有，

即对任意恒成立，

所以整数的最大值为2；……………………………………………………9分

（3）由（2）得到不等式，

所以，……………………11分

所以原不等式成立。…………………………………………………………………14分